Indices De Miller

SEMINARIO MIN 104

MINERALOGÍA GENERAL Y PETROGRAFÍA

TITULO DEL TEMA:

“Índices de Miller”

ÍndiceS de Miller

Planos con distintos índices de Miller en cristales cúbicos

Para poder identificar unívocamente un sistema de planos cristalográficos se les asigna un juego de tres números que reciben el nombre de índices de Miller. Los índices de un sistema de planos se indican genéricamente con las letras (h k l)

Los índices de Miller son números enteros, que pueden ser negativos o positivos, y son primos entre sí. El signo negativo de un índice de Miller debe ser colocado sobre dicho número.

Obtención de los Índices de Miller

1. Se determinan las intersecciones del plano con los ejes cristalográficos. Para poder determinarlas se utiliza como unidad de medida la magnitud del parámetro de red sobre cada eje.

2. Se consiguen los recíprocos de las intersecciones.

3. Se determinan los enteros primos entre sí que cumplan con las mismas relaciones.

4. tienen que ser enteros.

Ejemplo

Supongamos una red con parámetros de red: a b c

Tenemos un plano que intersecta a los ejes x, y, z, estos ejes también se pueden designar con las letras a, b y c. En los puntos 1a 2b 1/2c respectivamente.

Entonces realizamos el recíproco de las intersecciones: 1a, 1/2b, 2c y de ahora en más trabajamos solo con los números, es decir: 1, 1/2, 2.

Determinamos los enteros primos entre sí que cumplan las mismas relaciones: Esto lo logramos multiplicando por el m.c.m(mimimo común múltiplo).

Índices de Miller

Los átomos en un sólido están empaquetados, con lo que existe un cierto grado de orden:

- de corto alcance (sólidos moleculares, con enlaces fuertes- covalentes- entre átomos y más débiles– van der Waals- entre moléculas ).

- de largo alcance (sólidos cristalinos)

En el interior de un sólido cristalino existe una estructura cristalina formada por una red espacial, en cada punto de la cual se sitúan grupos de átomos idénticos en composición y orientación (base).

La geometría de la red espacial debe permitir que se llene todo el espacio de átomos sin dejar huecos, característica que hace que sólo existan 14 tipos de redes posibles (redes de Bravais), caracterizadas por una celda unitaria cada una, que, a su vez viene definida por una serie de parámetros (a,b,c y α , β , γ).

Para identificar los diferentes planos y direcciones en un cristal se usan los índices de Miller (para planos (hkl), para direcciones [hkl]).

La orientación de una superficie de un cristal plano se puede definir considerando como el plano corta a los ejes cristalográficos principales del sólido. La aplicación de un conjunto de reglas conduce a la asignación de los índices de Miller (hkl); un conjunto de números que cuantifican los cortes y que sólo puede usarse para identificar un plano o una superficie.

El siguiente procedimiento que permite asignar índices de Miller está simplificado y sólo sirve para el sistema cúbico (con celda unitaria de dimensiones a x a x a ).

Para ilustrar el procedimiento, consideremos la siguiente superficie /plano:

Paso 1: identificar las intersecciones con los ejes x, y,z.

En este caso la intersección con el eje x tiene lugar en x=a y la superficie es paralela a los ejes y, z (consideramos que los corta en ∞). Los cortes son a, ∞, ∞.

Paso 2: especificar los cortes en coordenadas fraccionarias.

Las coordenadas se convierten en fraccionarias dividiéndolas por la dimensión de la celda unidad. Por ejemplo un punto (x,y,z) en una celda unidad de dimensiones a x b x c, tiene las coordenadas fraccionarias (x/a, y/b, z/c).

En nuestro caso ( celda cúbica), las coordenadas fraccionarias serán: a/a, ∞/a, ∞/a, es decir 1,∞, ∞.

Paso 3: obtener los reciprocos de las coordenadas fraccionarias

Este paso final genera los índices de Miller que, por convención, han de especificarse sin estar separados por comas. Los índices se encierran entre paréntesis () cuando se especifica una única superficie como en este ejemplo.

Los recíprocos de 1 y ∞, son 1 y 0, respectivamente, lo que nos conduce a (100). Por tanto el plano del dibujo es el (100) del cristal cúbico.

Otros ejemplos:

1- La superficie (110)

cortes: a,a,∞ ; cortes fraccionarios: 1,1,∞ ; índices de Miller: (1,1,0)

2- La superficie (111)

cortes: a,a,a ; cortes fraccionarios: 1,1,1 ; índices de Miller: (1,1,1)

Las superficies consideradas hasta ahora (100), (110) y (111) son las llamadas superfícies de índice bajo de un cristal cúbico (el termino bajo hace referencia a que los índices son 0 o 1). Estas superficies tienen especial importancia, pero hay un número infinito de otros planos que pueden definirse usando los índices de Miller.

3- Las superficies (210)

cortes: a/2, a,∞; cortes fraccionarios: 1/2, 1,∞ ; índices de Miller: (210)

Notas adicionales:

(i) en algunos casos los índices de Miller se multiplican o dividen por algún factor común para simplificarlos. Esta operación simplemente genera un plano paralelo que está a distancia diferente del origen de la celda particular considerada (ejemplo: (200) se transforma en (100) al dividir por dos)

(ii) si algunos cortes tienen valores negativos sobre los ejes, el signo negativo debe aparecer en el índice de Miller

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