Integracion

1. INTRODUCCIÓN.

En los estudios anteriores del cálculo diferencial e integral se han consagrado sus aplicaciones a funciones de una variable. Ahora nos ocuparemos del cálculo diferencial de funciones de más de una variable. Nuestro propósito en este tema es el de extender los conceptos de límite, continuidad y diferenciabilidad a las funciones de dos o más variables.

Los resultados obtenidos se aplicarán entonces al estudio de las derivadas direccionales, los planos tangentes a las superficies, y los extremos de las funciones de varias variables.

Algunas fórmulas de las matemáticas elementales suministran ejemplos sencillos de tales funciones. Así, en la fórmula para el volumen de un cilindro circular recto,

v=πx^2.y (1)

v es una función de las dos variables independientes x(=radio) y y(=altura). Asimismo, en la fórmula para el área u de un triángulo plano oblicuángulo,

u=1/2.x.y.senα (2)

u es una función de las tres variables independientes x,y y u, que representan, respectivamente, dos lados y el ángulo comprendido.

Evidentemente, tanto en (1) como en (2), los valores que pueden asignarse a las variables en el segundo miembro son enteramente independiente el uno del otro.

A estas expresiones se les llama funciones de tres o más argumentos.

Ejemplo 1.1:

Expresar el volumen V del cono en función de su generatriz x y del radio de la base y

Solución: sabemos por la geometría, que el volumen del cono es igual a

V=1/3 π.y^2.h

Donde h es la altura del cono. Pero

h=√(x^2-y^2 )

Por consiguiente,

V=1/3 π.y^2.√(x^2-y^2 )

Esta es, precisamente, la dependencia funcional que se buscaba.

Las funciones de valores reales de varias variables reales independientes se definen en forma parecida a como se definen las funciones de una sola variable. Los dominios son conjuntos de pares (o tríadas o cuádruplos, etc.) ordenados de números reales, y los rangos son conjuntos de números reales del tipos de los que hemos usado.

A continuación se presenta un concepto fundamental de funciones de varias variables. (Designaciones de las funciones).

1.1 Concepto Fundamental.

Una magnitud variable z se denomina función uniforme de dos variable x e y, si a cada conjunto de valores de éstas (x,y) del campo dado, corresponde un valor único y determinado de z. Las variables x e y se llaman argumentos o variables independientes. (B. Demidovich).

La dependencia funcional se representa así:

z=f(x,y); z=F(x,y); etc.

El valor de la función z=f(x,y) en el punto P(a,b), es decir, cuando x=a e y=b, se designa por f(a,b) o f(P).

1.2 Representación Geométrica de la función z=f(x,y)

La representación geométrica de la función z=f(x,y) es un sistema de coordenadas cartesianas X,Y y Z es, en términos generales, una superficie, ver figura 1.

Ejemplo 1.2:

Hallar f(2,-3) y f(1,y/x ), si

f(x,y)=(x^2+y^2)/2xy

Solución: Poniendo x=2 e y=-3, hallamos:

f(2,-3)=(2^2+〖(-3)〗^2)/(2.2.(-3))=-13/12

Ahora poniendo x=1 y sustituyendo y por y/x tenemos:

f(1,y/x)=(1^2+(y/x)^2)/(2.1.(y/x) )=(x^2+y^2)/2xy

Es decir que f(1,y/x )=f(x,y).

2. Límites de una Función de Varias Variables.

Mucha de la terminología relacionada con los límites fue introducida por el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897). Su forma de tratar rigurosamente los límites y otros temas del cálculo le han dado la reputación de padre del análisis moderno.

El estudio de los límites de funciones de varias variables es mucho más complejo que el de funciones de una variables, pues en este, únicamente se tiene dos caminos para acercarse a un punto, por la derecha o por las izquierda; mientras que en el caso de varias variables existe una infinidad de caminos para acercarnos a un punto (a,b), como lo muestra la figura 2.

2.1 Límite de una Función z=f(x,y).

Comenzaremos el estudio de los límites para funciones de dos variables, el caso para funciones de n variables es análogo. Primero definimos el análogo a un intervalo abierto de R.

Definición: Disco de Radio δ y Centro P.

Un disco D(P,δ) abierto, o simplemente un disco, de radio δ>0 y centro en P=(a,b) es el conjunto de todos los puntos (x,y) tales que su distancia a (a,b) es menor que δ, es decir

D(P,δ)={(x,y)ϵR^2 tal que √(〖(x-a)〗^2+〖(y-b)〗^2 )<δ} (1)

Observación: Si en la definición (1) se cambia < por un ≠ obtenemos un disco cerrado.

Definición: Límite de una Función.

Sea f:D((a,b),δ)⊂R^2→R una función de dos variables definidas en el disco abierto D((a,b),δ), excepto posiblemente en (a,b). Entonces

lim┬((x,y)→(a,b))⁡〖f(x,y)=L〗

Si y sólo si para ε>0 existe un correspondiente δ>0 tal que

|f(x,y)-L|=ε, siempre que 0<√((x-a)^2+(x-b)^2 )<δ

Observación: Gráficamente, esta definición significa que para un punto cualquiera (x,y)ϵD((a,b),δ) el valor de f(x,y) está entre L+ε y L-ε como se ilustra en la figura

Como ya mencionamos, cuando escribimos que (x,y)→(a,b) entendemos que el punto (x,y) se aproxima a (a,b) en cualquier dirección. Si el valor de

lim┬((x,y)→(a,b))⁡〖f(x,y)=L〗

No es lo mismo para todos los posibles caminos o trayectorias de acercarnos a (a,b), entonces el límite no existe.

Entonces al calcular límites podemos pensar en términos de distancias en el plano o en términos de diferencias en coordenadas.

La definición de límites se aplica en puntos fronteras (a,b), así como en puntos interiores de dominio de f. El único requisito es que el punto (x,y) permanezca en el dominio todo el tiempo.

Puede demostrarse, igual que para funciones de una sola variable, que

lim┬((x,y)→(a,b))⁡〖x=a; lim┬((x,y)→(a,b))⁡〖y=b ; lim┬((x,y)→(a,b))⁡〖k=k〗, kϵR.〗 〗

2.2 Propiedades de Límites de Funciones de dos Variables.

Las siguientes reglas son válidas si

lim┬((x,y)→(a,b))⁡〖f(x,y)=A y lim┬((x,y)→(a,b))⁡〖h(x,y)=B〗 〗

Regla de la Suma: lim⁡[f(x,y)+h(x,y) ]=A+B

Regla de la Diferencia: lim[f(x,y)-h(x,y)]=A-B

Regla del Producto: lim[f(x,y).h(x,y)]=A.B

Regla del

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