LEYES DE D’MORGAN

LEYES DE D’MORGAN

Estas leyes establecen los complementos de la unión e intersección entre conjuntos:

Primera ley. El complemento de la unión de dos conjuntos es la intersección de sus complementos.

(A ∪ B)' = 'A ∩ 'B

(A∪ B)' 'A ∩ 'B

=

U U

A B A B

En el diagrama de la izquierda, A∪ B viene dada por la región en blanco y (A ∪ B)' está representado

por el área sombreada verticalmente. Por su parte en el diagrama de la derecha, A' es la región

sombreada horizontalmente, B' es el área sombreada verticalmente, por lo que 'A ∩ 'B está

representado por la superficie cuadriculada. Las regiones resultantes son iguales.

Segunda ley. El complemento de la intersección de dos conjuntos es la unión de sus complementos:

(A ∩ B)' = 'A ∪ 'B

(A∩ B)' 'A ∪ 'B

=

U U

A B A B

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de conjuntos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

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En el diagrama de la izquierda, A∩ B está dada por la región sombreada horizontalmente y (A∩ B)'

está representado por el área sombreada verticalmente. Por su parte, en el diagrama de la derecha, A'

es la región sombreada horizontalmente, B' es el área sombreada verticalmente, por lo que 'A ∪ 'B está

representado por la superficie que no es blanca. Las regiones resultantes son iguales.

Ejemplo.

Dados los siguientes conjuntos:

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

A = {1,3,4,7,9, 11}

B = {1,2,5,7, 9,11,12 }

Comprobar las leyes de D’Morgan:

Solución.

A ∪ B = {1,2,3,4,5,7,9,11,12 }

A ∩ B = {1,7,9,11}

'A = {2,5,6,8,10,12 }

'B = {3,4,6,8,10 }

(A∪ B)' = {6,8,10 } _(1)

'A ∩ 'B = {6,8,10 } _(2)

Como (1) = (2) ⇒ (A∪ B)' = 'A ∩ 'B

(A∩ B)' = {2 3,, 4,5,6 8,, 10,12} _(3)

'A ∪ 'B = {2,3,4,5,6,8,10,12 } _(4)

Como (3) = (4) ⇒ (A∩ B)' = 'A ∪ 'B

PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS Y SU GRÁFICA

Uno de los principios básicos para hacer un análisis matemático es el concepto de parejas ordenadas:

dos objetos, personas, símbolos o cosas mencionados en un orden definido por su posición, es decir,

primero uno y luego el otro. Si este orden cambiara, es decir, primero el otro y luego el uno, se tendrá

como resultado una nueva pareja ordenada y diferente a la inicialmente considerada.

La simbología matemática que se utiliza para representar una pareja ordenada es escribir dentro de un

paréntesis, la primera componente separada por una coma de la segunda componente, por ejemplo:

( y,x ) es la pareja ordenada, en donde x es la primera componente y y es la segunda componente.

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los posibles pares ordenados

que se forman eligiendo como primera componente a un elemento que pertenezca a A , y como segunda

componente a un elemento que pertenezca a B .

El producto cartesiano se denota de la siguiente forma: A× B y se lee “ A cruz B ”.

A× B = { ( y,x ) x∈ A y y ∈ B }

La definición anterior expresa que el producto cartesiano de los conjuntos A y B , son la parejas

ordenadas ( y,x ) tal que x pertenece al conjunto A y y pertenece al conjunto B . Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de conjuntos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

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Ejemplo.

Obtener el producto cartesiano A× B de los siguientes conjuntos:

A = {1,2,3}

B = {2,4,6,7 }

Solución.

A× B = {(1,2),(1,4),(1,6),(1,7),(2,2),(2,4),(2,6),(2,7),(3,2),(3,4),(3,6),(3,7)}

El número de parejas ordenadas que resultan de un producto cartesiano se obtiene multiplicando sus

cardinalidades. En el ejemplo anterior, η(A) = 3 y η(B) = 4 , el número de parejas ordenadas es:

(3)(4) = 12 .

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