La Circunferencia

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

Definición: circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre una distancia constante de un punto fijo de ese plano.

El punto fijo se llama centro dela circunferencia, y la distancia constante se llama radio.

La circunferencia cuyo centro es el punto (h,k) y cuyo radio es la constante r tiene por ecuación:

〖(x-h)〗^2+〖(y-k)〗^2=r^2

Sea P (x, y) un punto cualesquiera de la circunferencia de centro C (h,k) y radio r, por lo tanto el punto P debe satisfacer la condición geométrica

|(CP) ̅ |=r

Expresada analíticamente por la ecuación,

√(〖(x-h)〗^2+〖(y-k)〗^2 )=r

De donde:

〖(x-h)〗^2+〖(y-k)〗^2=r^2

Recíprocamente, sea P_1 〖(x〗_1,y_1) un punto cualesquiera cuyas coordenadas satisfacen la ecuación (2), de manera que se verifica la igualdad, de ahí se deduce extrayendo la raíz cuadrada, que es la expresión analítica de la condición geométrica (1) aplicada al punto P_1. Por tanto, demostrados los teoremas directo y reciproco, resulta (2) es la ecuación buscada.

Gráfico

Para el caso particular en el que el centro C está en el origen h=k=0, y tenemos:

La circunferencia de centro en el origen y radio tiene por ecuación:

x^2+y^2=r^2

En el caso de la ecuación (1) observamos que, si se conocen las coordenadas del centro y la longitud dl radio, la ecuación puede escribirse inmediatamente. Esto sugiere un método para obtener la ecuación de una circunferencia en cualquier problema dado, todo lo que se necesita es obtener las coordenadas del centro y la longitud del radio a partir de las condiciones dadas. La construcción de una circunferencia en geometría elemental, implica la determinación del centro y radio.

FORMULA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

Si desarrollamos la ecuación ordinaria:

〖(x-h)〗^2+〖(y-k)〗^2=r^2

Obtenemos:

x^2+y^2-2hx-2ky+h^2+k^2-r^2=0

En donde:

D=-2h, E=-2k Y F=h^2+k^2-r^2

Se deduce, por lo tanto, que la ecuación de una circunferencia cualesquiera puede escribirse en la forma (2), llamada formula general de la ecuación de la circunferencia

La ecuación x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 representa una circunferencia de radio diferente de cero solamente si;

D^2+E^2-4F>0

Las coordenadas del centro son entonces, (-D/2,-E/2) y el radio es; 1/2 √(D^2+E^2-4F)

Determinación de una circunferencia sujeta tres condiciones: En la ecuación ordinaria de la circunferencia hay tres constantes arbitrarias independientes, h, k y r. De madera semejante en la ecuación general hay tres constantes arbitrarias independientes D, E y F. Como la ecuación de toda circunferencia puede escribirse en cualquiera de las dos formas, la ecuación de cualquier circunferencia particular puede obtenerse determinando los valores de tres constantes.

Por tanto analíticamente la ecuación de una circunferencia se determina completamente por tres condiciones independientes.

Familias de la circunferencia: una circunferencia que satisface menos de tres condiciones independientes no es, por lo tanto única. La ecuación de una circunferencia que satisface solamente a las dos condiciones contiene una constante arbitraria llamada parámetro, se dice entonces que tal ecuación representa una familia de parámetros si las ecuaciones de dos circunferencias dadas cualesquiera C_1 y,C_2 , son:

C_1:〖 x〗^2+y^2+D_1 x+E_1 y+F_1=0

C_2:〖 x〗^2+y^2+D_2 x+E_2 y+F_2=0

La ecuación; x^2+y^2+D_1 x+E_1 y+F_1+k(x^2+y^2+D_2 x+E_2 y+F_2 )=0 representa una familia de circunferencia todas las cuales tienen sus centros en la recta de los centros de C_1 y,C_2

Si C_1 y,C_2 se cortan en dos puntos diferentes, la ecuación representa para todos los valores de k diferentes de -1, todas las circunferencias que pasan por los dos puntos de intersección C_1 y,C_2, son la única excepción de C_2 misma.

Si C_1 y,C_2 son tangentes entre sí, la ecuación representa, para todos los valores de k diferentes de -1, todas las circunferencias que son tangentes a C_1 y,C_2, en su punto común, con la única excepción de C_2 misma.

Si C_1 y,C_2 no tienen ningún punto común la ecuación representa una circunferencia para cada valor de k diferente de -1, siempre que la ecuación resultante tenga coeficientes que satisfagan las condiciones especificadas. Ningún par de circunferencias de la familia tiene un punto común con ninguna de las dos circunferencias〖 C〗_1 y,C_2.

POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia y un punto.

Un punto en el plano puede ser:

Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.

Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.

Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.

La circunferencia y la recta

Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:

Exterior, si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor que la longitud del radio.

Tangente, si la toca en un punto (el punto de tangencia o tangente) y la distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro.

Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio.

Segmento circular, es el conjunto de puntos de la región circular comprendida entre una cuerda y el arco correspondiente.

LA ELIPSE

Definición: una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.

Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse. Designemos por F y F^' los focos de una elipse. La recta l que pasa por los focos tiene varios nombres; veremos que es conveniente introducir el término de eje focal para designar esta recta.

El eje focal corta a la elipse en dos puntos V y V^' llamados vértices. La porción del eje focal comprendida entre los vértices, el segmento VV^', se llama eje mayor. El punto C del eje focal, punto medio del segmento que une los focos, se llama centro. La recta l^' que pasa por C y es perpendicular al eje focal l tiene

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