La Educacion

Republica Bolivariana de Venezuela.

Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria.

Universidad Experimental “Rafael María Baralt”

Cabimas estado Zulia

Realizado por:

Rayniel González

C.I: 19.328.431

Sección: 112

ALGEBRA MATRICIAL

 DEFINICIÓN DE MATRIZ

Se puede definir una matriz, como una tabla triangular de números reales ordenados en filas y columnas. Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas.

Ejemplo: A:

Filas de Matriz A

Columnas de la matriz A

Abreviadamente se puede expresar A = (aij). Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices. El primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “j”, la columna. Así el elemento a23 está en la fila 2 y columna 3.

Ejemplos: Son ejemplos de matrices los siguientes:

A = + B = + C=

 TIPOS DE MATRICES :

Las matrices se clasifican atendiendo al número de filas y columnas que poseen y también atendiendo al valor que toman sus elementos.

• Matriz fila: Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Por ejemplo: 1 0 −4 9)

Es una matriz fila de tamaño 1 x 4.

• Matriz columna: La matriz columna tiene una sola columna.

Ejemplo: C=

Es una matriz columna de tamaño 3 x 1.

• Matriz rectangular: La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

• Matriz cuadrada: La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Ejemplo

D=

Matriz de orden 3.

• Matriz Nula: Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero.

Por ejemplo:

A=

 Operaciones con matrices

• Trasposición

Dada una matriz cualquiera A, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At a la matriz que resulta de intercambiar las filas y las columnas de A.

Ejemplo:

A=

Entonces la matriz traspuesta de A es:

At=

Evidentemente, si A es una matriz de tamaño m x n, su traspuesta At tendrá tamaño n x m, pues el numero de columnas pasa a ser el de filas y viceversa.

Si la matriz A es cuadrada, su traspuesta tendrá el mismo tamaño.

Propiedades:

a) (At) t = A, es decir, la traspuesta de la traspuesta es la matriz inicial.

B) (A + B) t = At + Bt

c) (k • A) t = k • At

• Suma, Resta:

Dadas dos matrices A y B podemos realizar su suma o diferencia de acuerdo a la siguiente regla. Para sumar o restar dos matrices del mismo tamaño, se suman o restan los elementos que se encuentren En la misma posición, resultando otra matriz de igual tamaño.

Ejemplo: - =

Si las matrices tienen diferente tamaño, no se pueden sumar o restar entre si.

Propiedades de la suma (y diferencia) de matrices:

a) Conmutativa: A + B = B + A

b) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C

c) Elemento neutro: La matriz nula del tamaño correspondiente.

d) Elemento opuesto de A: La matriz -A, que resulta de cambiar de signo a los elementos de A.

• Multiplicación escalar

Sea A una matriz y B un número (llamado un escalar en este contexto), definimos el múltiple escalar, B A, como la matriz que se obtiene multiplicando cada entrada de A por c. En símbolos, (BA)ij = B(Aij).

“Para multiplicar dos matrices A y B, en este orden, A•B , es condición indispensable que el numero de columnas de A sea igual al numero de filas de B”

Ejemplo:

A= y B=

• Producto por un numero real

Dada una matriz cualquiera A y un numero real k, el producto k•A se realiza multiplicando todos los elementos de A por k, resultando otra matriz de igual tamaño. (Evidentemente la misma regla sirve para dividir una matriz por un número real)

.

Ejemplo:

- 5. =

Propiedades:

a) Distributiva respecto de la suma de matrices: k•(A + B) = k•A + k•B

b) Distributiva respecto de la suma de números: (k + d)•A= k•A + d•A

c) Asociativa: k•(d•A)=(k•d)•A

d) Elemento neutro, el numero 1: 1•A=A

 METODOS PARA CALCULAR EL DETERMINATE DE UNA MATRIZ

Para el cálculo de determinantes de matrices de cualquier orden, existe una regla recursiva (teorema de Laplace) que reduce el cálculo a sumas y restas de varios determinantes de un orden inferior. Este proceso se puede repetir tantas veces como sea necesario hasta reducir el problema al cálculo de múltiples determinantes de orden tan pequeño como se quiera. Sabiendo que el determinante de un escalar es el propio escalar, es posible calcular el determinante de cualquier matriz aplicando dicho teorema.

La fórmula de Leibniz es útil como definición de determinante; pero,

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