La Integracion

Que es una función

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π•r2. Del mismo modo, la duración T de un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, d / v. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.

Diferencias entre función y relación

Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados, o cualquier correspondencia entre conjuntos y una función es la que da exactamente un valor a la variable depen-diente (y) para cada valor de la variable independiente (x) en el dominio.

Una relación entre 2 conjuntos A y B es cualquier subconjunto del producto cartesiano AXB, incluso el vacío. Una función de A en B debe cumplir que para todo elemento de A exista un único elemento de B (que se suele llamar f(a)) relacionado con él. Una forma de clasificar las relaciones es la siguiente: se dice que R es reflexiva si para todo elemento de A (a, a) está en la relación. Se dice que es simétrica si cada vez que (a, b) está en la relación, (b, a) está en la relación, anti simé-trica si cada vez que (a, b) y (b, a) están en la relación, a=b y transitiva si cada vez que (a, b) y (b, c) están en la relación, (a, c) está en la relación.

Existen muchos ejemplos de funciones que «necesitan dos valores» para ser calcula-das, como la función «tiempo de viaje» T, que viene dada por el cociente entre la distancia d y la velocidad media v: cada pareja de números reales positivos (una dis-tancia y una velocidad) tiene asociada un número real positivo (el tiempo de viaje). Por tanto, una función puede tener dos (o más) variables independientes.

La noción de función de múltiples variables independientes no necesita de una defini-ción específica separada de la de función «ordinaria». La generalidad de la definición anterior, en la que se contempla que el dominio sea un conjunto de objetos matemáti-cos arbitrarios, permite omitir la especificación de dos (o más) conjuntos de variables independientes, A1 y A2, por ejemplo. En lugar de ello, el dominio se toma como el conjunto de las parejas (a1, a2), con primera componente en A1 y segunda compo-nente en A2. Este conjunto se denomina el producto cartesiano de A1 y A2, y se de-nota por A1 × A2.

De este modo las dos variables independientes quedan reunidas en un solo objeto. Por ejemplo, en el caso de la función T, su dominio es el conjunto R+ × R+, el conjunto de parejas de números reales positivos. En el caso de más de dos variables, la defini-ción es la misma, usando un conjunto ordenado de múltiples objetos, (a1,..., an), una n-tupla. También el caso de múltiples variables dependientes se contempla de esta manera.

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