Lógica matemática tarea

1.2 LÓGICA

Lógica viene de logos, que en griego refiere al pensamiento, la idea y al racionalismo.

Según la Real Academia Española (2016) la lógica es una ciencia que expone las leyes, modos y formas de las proposiciones en relación con su verdad o falsedad; esto quiere decir que demuestra un punto determinado desde la perspectiva de su validez, usando como guía la razón, el intelectualismo, la dialéctica y la capacidad de argumentación.

La lógica tiene amplia aplicación y utilidad, por ejemplo  esta puede ser aprovechada en varios aspectos de la comunicación, de la toma de decisiones y el conocimiento humano. Esta se puede emplear en todo aquello que tenga alguna importancia en la actividad racional o el uso del razonamiento, como el proporcionar hipótesis para aceptar o rechazar la idea.

La lógica tiene sus orígenes en la antigua Grecia con Aristóteles el padre  y creador de la lógica, sin embargo  el primero en estudiar las oraciones fue Platón, esto lo hizo en su obra Sofista donde trato las afirmaciones y las negaciones, en el introduce la noción del método axiomático, este consiste en la formulación de un conjunto de proposiciones o enunciados que guardan entre si una relación de deducibilidad y sirven de hipótesis o de condiciones para un determinado sistema.

La lógica tradicional cierra como línea creadora con Arnauld y Nicole con la llamada “lógica  de Port-Royal” de 1662, esta se repitió básicamente los dos siglos siguientes.

Dentro de la edad media surgió un matemático llamado Leibniz, quién realizó una obra a cerca de la lógica, en la que se pueden señalar dos características, la primera es que permaneció inédita hasta principios de nuestro siglo, y la segunda es que se muestra una clara anticipación de la lógica matemática.

El programa de Leibniz comprende tres partes según Beth, son la característica universal, el cálculo razonador y el arte combinatorio. La característica universal es la elaboración de un lenguaje científico universal que sea susceptible de representar cualquier argumentación científica o cualquier proceso de formación de conceptos científicos. El cálculo razonador es un sistema exhaustivo de formas argumentativas concluyentes según la teoría formal de la deducción. El arte combinatoria es un sistema exhausto de formas definitorias según la teoría formal de la definición.

Dentro de estos grandes descubrimientos independientes de la lógica destaca el querer ampliar el simbolismo lógico, es decir, emplear el sistema de símbolos con el fin de convertir la lógica en álgebra, este se dio en tierras británicas con los filósofos George Boole y Augustus De Morgan. A sí mismo en Europa los filósofos Gottlob Frege y Giuseppe Peano desarrollaron la fundamentación de la lógica en la matemática, esto induce claridad lógica en las nociones fundamentales de la matemática así como rigor lógico en sus demostraciones.

1.2.1 LÓGICA MATEMÁTICA

La lógica matemática fue desarrollada por George Boole, quién fue un notable autodidacta, que estudio todas las obras de matemáticas a las que tenía acceso. En la primavera de 1847 escribió su obra llamada “The mathematical analysis of logic”, en donde señala que la lógica esta aliada a la matemática y separada de la filosofía.

Tiempo después en 1854 completó su publicación con “An investigation of the laws of thought”, en esta obra desarrolla ideas y teorías contenidas en su libro anterior, además de incluir varios capítulos sobre la teoría de probabilidades.

En términos generales se afirma que la preparación matemática de Boole le capacitó para desarrollar una lógica donde se usan los recursos del álgebra ordinaria, pero que no es un álgebra matemática.

Boole es un defensor del empleo de símbolos en lógica, aunque recurre a los símbolos familiares de la matemáticas; para él la ley de progreso científico supone el paso natural a investigaciones superiores y nuevas, pero tal exige el empleo de símbolos.

La doctrina de Boole establece un hilo de controversia sobre la prioridad de la lógica o de las matemáticas en una educación liberal. En 1836 surgió una discusión entre Whewell y Hamilton, acerca del diferente valor educativo de ambas disciplinas, Whewell valoraba las matemáticas por encima de la lógica, en la adquisición de hábitos de razonar, aludiendo que los razonamientos tienen un contenido determinado en la matemática y no se establecen en general tal como ocurre en la lógica. En cambio Hamilton insistía en la prioridad de la lógica menospreciando a su vez las matemáticas en su papel educativo.

Boole al ver las dos posturas señalo que no estaba de acuerdo ya que según ese punto de vista sobre la naturaleza de la filosofía, la lógica no forma parte de ella. En la lógica de Boole aparece asociada a otra ciencia formal, aunque no confundida con ella. El tratamiento algebraico de la lógica realizado por Boole fecunda la lógica y le da su forma como lógica matemática.

Boole toma como punto de partida la clase universal, que simboliza mediante el 1 y que denomina universo. La caracteriza como comprendiendo todas las clases concebibles de objetos, realmente existentes o no. A lo que se le llama clases ordinarias o normales, estas surgen por selección o elección en la clase universal de grupos de individuos con una o varias propiedades comunes.

Dentro del cálculo en las ecuaciones el emplea los símbolos “x”, “y” o “z” que representan la operación de elección de individuos y el resultado de la misma, siendo símbolos de clases. Boole denomina los símbolos “x”, “y”, “z” como símbolos electivos. Volviendo a “The mathematical analysis of logic”, la elección representada mediante el símbolo es una operación mental, la cual no es una abstracción, ya que no se pierde de vista lo concreto y procede mediante comparación y atención.

Hay tres leyes básicas en la operación de elección y el álgebra lógica.

La primera ley señala que el resultado de la elección es independiente de la agrupación del tema; en la explicación que le da Booler, introduce la unión o suma de clases, que representa mediante el signo aritmético “+”. Esto se traduce como que se puede seleccionar la clase X en un todo o bien seleccionar la clase X en las partes de ese todo uniendo los resultados, en ambos casos se tiene constituida la misma clase. Esta ley es la distribución del producto respecto de la suma.

La segunda ley señala que el orden de los actos de elección es indiferente. Boole lo ejemplifica como seleccionar en animales ovejas y luego los que tienen cuernos, o seleccionar en animales los que tienen cuernos y luego las ovejas, esto produce el mismo resultado.

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