Matemática Fundamental

CALCULO DEL VALOR PRESENTE EQUIVALENTE DE UN FUTURO DADO.

Sabemos que F = P(1+i)n ; por lo tanto, P = F(1+i)-n (3.2)

El valor presente se puede definir, como el capital que prestado o invertido ahora, a una tasa de interés dada, alcanzará un monto específico después de un cierto número de periodos de capitalización.

La anterior fórmula se puede expresar mnemotécnicamente de la siguiente manera: P = F(P/F, i, n) ; que se lee así : hallar P dado F, una tasa i y n periodos. La forma mnemotécnica se emplea cuando se usan las tablas financieras que normalmente se encuentran al final de los libros de ingeniería económica o de las matemáticas financieras.

El término (P/F, i, n) se conoce como el nombre de factor y es un valor que se encuentra en las tablas financieras. El factor corresponde al elemento (1+i)-n de la fórmula, se conoce con el nombre de factor de descuento o factor de valor presente para pago único.

El diagrama económico para la fórmula expresada anteriormente seria:

FD = conocido

i%/periodo (conocido)

1 2 3 4 5 n-2 n-1 n (periodos)

PD = ?

Ejemplo 3.7

Dentro de dos años y medio deseo cambiar mi actual maquinaria empacadora por una de mayor capacidad. En esa fecha, estimo que puedo venderla por $ 300.000 y la de mayor capacidad estará costando $1.200.000 ¿Cuánto capital debo consignar en una entidad financiera que paga el 3% mensual, si deseo adquirir la nueva maquinaria?

Solución:

Como la actual maquinaria la vendería por $ 300.000 dentro de dos años y medio y la nueva tendría un costo de $ 1.200.000, realmente debo tener consignado en la entidad financiera en esa fecha $ 900.000.

F = $900.000

i = 3% mensual

0 30 meses

P = ?

Se tiene que: P = F(1 +i -)n = 900.000(1+ 0.03)-30 = $370.788,0 8 ;

r = tasa nominal

m= frecuencia de conversión= número de períodos o de subperíodos que se encuentran en el periodo de referencia, que generalmente es el año. Simplemente se podría definir como el número de capitalizaciones dentro del periodo de referencia.

Ejemplo 4.1

Defina el valor de m e i en las siguientes tasas de intereses nominales: a) 28% convertible bimensualmente, b) 4% bimestral compuesto mensualmente, c) 24% anual compuesto bimestralmente, d) 12% semestral compuesto trimestralmente, e) 32% anual compuesto cuatrimestralmente, f) 30% liquidable semestralmente, y g) 36 % anual compuesto anualmente.

Solución:

Para resolver este tipo de ejercicios, es necesario asociar el período de capitalización con el período de referencia, y por lo cual, es conveniente preguntar ¿Cuántos períodos de capitalización, composición, liquidación ó conversión hay en el período de referencia?

a) r = 28% convertible bimensualmente.

La pregunta sería: ¿Cuántos períodos bimensuales hay en un período anual?. La respuesta seria 24 períodos bimensuales hay en un año, por lo tanto, m = 24. Un período bimensual se refiere a dos veces en el mes.

i =mr = 0,2824 =1,17% bimensual

b) r = 4% bimestral CM.

La pregunta sería: ¿ Cuántos períodos mensuales hay en un bimestre?. La respuesta seria 2 meses hay en un bimestre, por lo tanto, m = 2.

i = mr = 0,042 = 2% mensual

c) 24% anual Compuesto bimestralmente.

La pregunta sería: ¿ Cuántos períodos bimestrales hay en un período anual?. La respuesta seria 6 períodos bimestrales hay en un bimestre, por lo tanto, m = 6. Un periodo bimestral corresponde a un período de 2 meses.

i = mr = 0,246 =4% bimestral

4.2 TASA DE INTERES PERIODICA

La tasa de interés periódica se simboliza como i, y se aplica siempre al final de cada periodo. Es aquella tasa en la cual se indica dos elementos básicos: La tasa y el periodo de aplicación, mientras; no se indique lo contrario se maneja como vencida, lo cual indica que también habrá tasa de interés anticipada. Es una tasa que puede ser incluida en las fórmulas que se desarrollan en las matemáticas financieras. Ejemplos: 2% mensual, 4% bimestral, 6% trimestral, 18% semestral y 30% anual.

4.3 TASA DE INTERES NOMINAL

Es una tasa de interés de referencia y se denomina como r, por ser de referencia no mide el valor real de dinero, por lo tanto, no puede ser incluido en las fórmulas de las matemáticas financieras. Es una tasa de interés que necesita de tres elementos básicos: La tasa, el periodo de referencia y el periodo de composición. El periodo de referencia mientras no se diga lo contrario, siempre será el año, y se dice que está implícito y por tanto, no es necesario señalarlo. El periodo de composición puede recibir el nombre de: periodo de capitalización, periodo de liquidación o periodo de conversión.

El interés nominal, también puede ser anticipado, pero en este caso el período de aplicación se señala de manera anticipada.

Como ejemplos de interés nominales vencidos se pueden señalar: 4% bimestral compuesto mensualmente, 18% semestral capitalizable trimestralmente, 28% anual liquidable cuatrimestralmente, 32% convertible mensualmente.

Se pueden mencionar como ejemplos de interés nominal anticipado los siguientes: 4% bimestral compuesto mensualmente anticipado, 18% semestral capitalizable trimestralmente anticipado, 28% anual liquidable cuatrimestralmente anticipado, 32% convertible mensualmente anticipado. En los ejemplos anteriores el período de aplicación de define o se señala de manera anticipada.

Se puede plantear la siguiente relación entre la tasa de interés periódica y la tasa de interés nominal:

r = i ´m (4.1) ; por lo tanto: i = mr (4.2)

donde : i = tasa de interés periódico

r = tasa nominal

m= frecuencia de conversión= número de períodos o de subperíodos que se encuentran en el periodo de referencia, que generalmente es el año. Simplemente se podría definir como el número de capitalizaciones dentro del periodo de referencia.

Ejemplo 4.1

Defina el valor de m e i en las siguientes tasas de intereses nominales: a) 28% convertible bimensualmente, b) 4% bimestral compuesto mensualmente, c) 24% anual compuesto bimestralmente, d) 12% semestral compuesto trimestralmente, e) 32% anual compuesto cuatrimestralmente, f) 30% liquidable semestralmente, y g) 36

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