Material de entrenamiento de las olimpiadas de matematicas

Olimpiada de Matemáticas

Material de entrenamiento

§ 1. Geometría

1.1 Ángulos y rectas

Cuando dos rectas distintas se cortan en un punto, se forman cuatro ángulos. Considerando estos ángulos:

Los ángulos opuestos son iguales(α = γ, β = δ).

Los ángulos adyacentes son suplementarios α + β = 180◦

α

β δ

γ

Cuando una recta corta dos rectas paralelas, esta forma ángulos similares con ambas rectas. (Este

se puede hacer notar con el hecho intuitivo de que al trasladar un ángulo, esto no afecta su medida).

α

β β

α α

β β

α

Proposición 1. La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo son 180◦.

1

β

α γ

β

γ

Sol. La demostración de este hecho se esboza en la figura de arriba, trazando una paralela a la

base del triángulo por el vértice opuesto y usando las propiedades mencionadas anteriormente de ángulos entre paralelas cortadas por una transversal. Así los ángulos α, β y γ quedan sobre la paralela que trazamos, es decir, suman 180◦ por lo que la proposición queda demostrada.

Observación 1. A los ángulos que suman 180◦ se les llama suplementarios.

1.1.1. Problemas propuestos

Definición 1. Definimos el ángulo externo a un vértice de un triángulo como el ángulo formado por uno de los lados que forman el vértice y la prolongación del otro lado.

A

C

π

B

En la figura, el ángulo externo al triángulo 4ABC en el vértice B es el denotado por π.

1. En la siguiente figura AD = DC, AB = AC, el ángulo ∠ABC,

mide 75◦ y el ángulo ∠ADC mide

50◦. ¿Cuánto mide el ángulo ∠BAD?

Sol. Usar que los triángulos son isósceles y que la suma de los ángulos interiores de un triángulo

son 180◦

2. ¿Cuánto vale el ángulo x, si las rectas son paralelas?

Sol. Usar propiedades de los ángulos formados entre dos paralelas por una transversal.

3. Demostrar que el ángulo externo en el vértice A de un triángulo

cualquiera es igual a la suma

de los otros dos ángulos opuestos.

Sol. Consideremos la siguiente figura y sea A el vértice que forma el ángulo α en el triángulo. Queremos demostrar que el ángulo externo a A es igual a β + γ. Como el ángulo externo más

α suman 180◦ por ser suplementarios y como la suma de los ángulos interiores de un triángulo

son 180◦ (α + β + γ = 180◦), de estás dos últimas igualdades se tiene lo que queríamos demostrar.

α

γ β

α

γ

4. En la siguiente figura, AC = BC y ∠DCE = ∠B. Demostrar que CE || AB.

Sol. Usar que el triángulo 4ABC es isósceles y como se definieron los ángulos entre paralelas.

Definición 2. En un triángulo ABC. La bisectriz del ángulo externo en el vértice A se llama bisectriz externa y la bisectriz del ángulo interno se llama bisectriz interna o simplemente bi- sectriz.

5. Demuestra que las bisectrices interna y externa en el vértice de un triángulo son perpendiculares.

Sol.

A

π α

2 2 C

π α

2 2

B

Si el ángulo interno es igual a α y el ángulo externo es igual a π, como las bisectrices cortan a un

ángulo en dos iguales, los ángulos quedan definidos como en la figura. El ángulo formado por

las dos bisectrices es α + β por lo tanto tenemos que demostrar que α + β = 90◦. El ángulo interno

2 2 2 2

y el ángulo externo a un triángulo suman 180◦ por lo cuál α + β = 180◦. De está última igualdad,

al dividir entre 2, se tiene que α + β = 90◦ que es el ángulo formado por las dos bisectrices y el

2 2

problema queda demostrado.

6. Las medidas de los ángulos de un triángulo están en la razón 1:2:3. Hallar la medida de cada

ángulo.

Sol. Sea x la medida del menor de los ángulos del triángulo descrito. Como los ángulos están

en razón 1:2:3, entonces los otros dos ángulos del triángulo miden 2x y 3x. Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo son 180◦ entonces x + 2x + 3x = 180◦ de donde x = 30◦. Por

lo tanto las medidas de los ángulos del triángulo son 30◦, 60◦ y 90◦.

1.2 Congruencia de triángulos

Definición 3. Dos triángulos ABC, PQR se llaman triángulos congruentes. Si sus lados son iguales

y sus ángulos correspondientes son iguales. Es decir:

1. AB = PQ, BC = QR, CA = RP.

2. ∠ABC = ∠PQR, ∠BCA = ∠QRP, ∠CAB = ∠RPQ

Criterios de congruencia. De las seis igualdades mencionadas anteriormente. usualmente, tres

son suficientes para probar que los triángulos son congruentes. Aunque no siempre. Considera dos triángulos 4ABC y 4PQR:

Si los tres lados son iguales, entonces los triángulos 4ABC y 4PQR son congruentes.

(Es decir si AB = PQ, BC = QR y CA =

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