Mates

Desarrolle y responda las siguientes preguntas, justificando matemáticamente su desarrollo.

Determine el dominio de la función definida por: (1 punto)

f(x)= √(x^2-16)/(x+3)

Para determinar el dominio de f(x), debemos tener en cuenta que al tratarse de una fracción algebraica el denominador está impedido de tomar el valor cero, por lo tanto.

x+3=0

x=-3

El valor anterior indica que sin conocer el dominio de la expresión, x=-3 no pertenece al dominio de la función. Para la expresión del numerador se tiene que cumplir que el valor dentro de la raíz debe ser mayor o igual a cero, entonces.

x^2-16≥0

x^2≥16

|x|≥4

De acuerdo a la expresión anterior tenemos.

x≥4 y x≤-4

Gráficamente se tiene.

-∞ +∞

-4 -3 0 4

Se observa que x=-3 no pertenece al dominio de √(x^2-16), entonces el dominio de f(x) es {x∈R:x≤-4,x≥4} o expresado en intervalos, tenemos ├]-∞,-4] ∪ [4,+∞┤[.

Considere la función g(x):IR→IR definida por

g(x)={█(1-x^2 si &x>2@-3x si &x≤2)┤

Determine su recorrido. (1 punto)

Antes de determinar el recorrido se debe conocer el dominio de la función, así conociendo los elementos de IR que “x” puede tomar es posible determinar un correcto recorrido.

La función g(x) se encuentra expresada en partes, la primera indica que para x>2 la función es de la forma 1-x^2, esta expresión puede tomar todos los valores mayores que 2 sin quedar indeterminada, por lo que su dominio es {x∈IR:x>2}, ó ├]2,+∞┤[. Ahora para el recorrido evaluamos los valores del dominio en la función, así para en 1-x^2 que corresponde a una parábola cóncava hacia abajo desplazada en una posición verticalmente, cuyo vértice es V(0,1), debido a que a la parte cuadrática le antecede un signo negativo y a éste solo le suma un uno, el recorrido de la expresión que se discute se determina como {x∈IR:-∞<x<-3}, ó ├]-∞,-3┤[.

La segunda parte dice que para x≤2, la función es una ecuación lineal de la forma -3x, se observa que no hay valor que indefine la función, en consecuencia, el dominio de esta expresión es {x∈IR:x≤2}, ó├]-∞,2], y su recorrido o rango corresponde a los valores que adopta a medida que “x” es sustituida desde ├]-∞,2], la expresión para todos los valores negativos del dominio es positiva,〖IR〗^+, y para los valores positivos del dominio asume todos los reales comprendidos entre [-6,0], por lo tanto el recorrido para la segunda parte de la función es {x∈IR:-6≤x<∞},

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