Matrices Matematicas

Unidad lll Matrices

3.1 Conceptos Básicos

Las matrices y los determinantes, nos ayudan a realizar los cálculos en la búsqueda de soluciones a los sistemas de ecuaciones lineales, permitiéndonos expresar de manera clara y concisa la condición de los sistemas. En este capítulo revisaremos en forma general las propiedades básicas de las matrices como un arreglo de números.

Definición

Una matriz es un arreglo rectangular de números reales encerrados en grandes paréntesis rectangulares, o bien, es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas. Una matriz tomada como un todo, no tiene un valor numérico. Sin embargo, los números en una matriz puede representar datos comerciales útiles, cuando son vistos como una unidad completa, tales datos pueden ser de ayuda considerable en la solución de problemas.

Ejemplos:

1 -4 6

A =

1 0 3

4 2 6

B = 7 8 9

3 7 2

1

C = 5

3

1

Los números reales que forman el arreglo se denominan entradas o elementos de matriz.

Los elementos en cualquier línea horizontal forman el renglón y aquellos que se encuentran en cualquier línea vertical forman una columna.

4 2 6 2 renglón

B = 7 8 9 4

3 7 2 0

Columna

Si una matriz tiene m renglones y n columnas entonces, se dice que su tamaño es m x n y se lee “m por n”

La matriz A se lee 2 X 3

1 -4 6

A = 1 0 3

Una matriz que solo tiene una columna se le denomina como matriz columna o vector columna:

3

C = 2 D = (2 3 5 7)

7

1 matriz renglón

matriz columna

En general si A es una matriz mxn se puede escribir entonces de la siguiente forma:

a11 a12 a13.......a1n

a21 a22 a23......a2n

a31 a32 a33......a3n

A = . . . .

am1 am2 am3……amn

Si todos los elementos de la matriz son cero, la matriz se llamará matriz cero y la denotamos por ceros.

0 0 0

0 = 0 0 0

2 X 3

Una matriz con el mismo número de renglones y de columnas, se le conoce como matriz cuadrada, por ejemplo:

2 1 4 3 1

A = 5 -3 2x 2 B = 1 4 6 3 x 3 C = 6 1x 1

5 3 2

Una matriz cuadrada A es llamada matriz diagonal si todas las entradas que se encuentran fuera de la diagonal principal son cero

Ejemplo:

: 1 0 3 0 0

0 1 0 6 0

0 0 9 Diagonal principal

Transpuesta de una matriz

Si AT es una matriz que se forma a partir de A por intercambio de sus renglones con sus columnas se conoce como la transpuesta de A.

Entonces por definición la transpuesta de una matriz A de m x n denotada AT, es la matriz de n x m cuyo i-esimo renglón es la i-esima columna de A.

1 2 3

Ejemplo si A = 4 5 6 encontrar A T

(Enésimo, enésima.- que ocupa un lugar indeterminado en una serie o sucesión.)

La matriz A es 2 x 3, de modo que AT es de 3 x 2. La columna 1 de A se convierte en el renglón 1 de AT, la columna 2 se convierte en el renglón 2 y la columna 3 se convierte en el renglón 3, por tanto.

1 4

AT = 2 5

3 6

3.2 Conceptos básicos

3.2 Operaciones básicas con matrices

3.2.1 Multiplicación de una matriz por un escalar.

Es la operación de multiplicar la matriz por un número real. Si A = [a] es una matriz m x n y C es cualquier número real entonces el producto C x A es una matriz m x n obteniendo cuando se multiplica cada elemento de A por una constante por ejemplo:

1 0 -1

Sea la matriz A = se multiplica por la c= 2

0 -2 4

2 0 -2

2 A =

0 -4 8

3.2.2 Suma y resta de matrices

Suma de matrices

Dos matrices A y B del mismo tamaño pueden sumarse, sumando sus elementos correspondientes. En otras palabras:

Sí A =[ a i j ] y B = [ b i j ]

Entonces: A + B = ( a i j + b i j )

Propiedades para la suma de matrices:

A + B = B + A Propiedad Conmutativa

A + (B + C)= (A+B) + C Propiedad Asociativa

A + 0=0 + A=A Propiedad del Neutro Aditivo

Propiedad conmutativa.- También llamada propiedad de orden de la suma. Esta propiedad significa que los sumandos se pueden sumar en cualquier orden y que la suma siempre es la misma.

Propiedad Asociativa.- Propiedad que establece que cuando se suman tres o más números reales, la suma siempre es la misma independientemente de su agrupamiento.

Neutro aditivo.- cualquier número sumado con 0 nos da el número original.

Ejemplo 1.

2 0 -1 3 1 2

A = 3 4 5 B = 2 0 -4

1 -2 3 3X3 3 2 -4 3X3

2+3 0+1 -1+2 5 1 1

A + B = 3+2 4+0 5-4 = 5 4 1

1+3 -2+2 3-4 4 0 -1

Ejemplo 2.

3 0 -2 5 -3 6

A = 2 -1 4 2X3 B = 1 2 -5 2 X 3

3+5

...