OSCILACIONES DE UN PÉNDULO SIMPLE

OBJETIVO GENERAL

Verificar el comportamiento de oscilador armónico del péndulo simple

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Medir la aceleración de la gravedad mediante el análisis del periodo del sistema.
• Reportar datos experimentales.
• Elaborar e interpretar gráficas experimentales.

FUNDAMENTO TEÓRICO:

• Cifras significativas.
• Propagación de incertidumbres
• Linealización
• Regresión lineal
• Oscilaciones del péndulo simple

INTRODUCCIÓN

Se define el péndulo simple como una masa puntual m que pende de un hilo inextensible y de masa despreciable con respecto a la masa puntual. En la figura 1 se ilustra una posición general de un péndulo simple oscilando. En la misma figura se representa las fuerzas que actúan sobre la masa pendular.

[pic 3]

Figura 1. Diagrama de fuerzas en el movimiento de un péndulo simple

La simetría de la situación física exige utilizar un sistema de coordenadas cuyos ejes tengan las direcciones de la aceleración tangencial ([pic 4]) y de la aceleración centrípeta ([pic 5]) de la masa. Aplicando la segunda ley de Newton, se obtiene:

[pic 6]                      Ecuación 1

[pic 7]                       Ecuación 2

Donde:

T = Tensión en la cuerda,

g = Aceleración de la gravedad,

m = Masa pendular

[pic 8]= Desplazamiento angular

[pic 9]= Velocidad angular

[pic 10]= Aceleración angular

[pic 11]= Longitud pendular

A partir de la ecuación 2 tenemos que:

[pic 12]                                                                Ecuación 3

Obsérvese que esta ecuación diferencial no es lineal y por lo tanto el péndulo simple no oscila con M.A.S. Sin embargo, para pequeñas oscilaciones (amplitudes angulares máximas de 10º), [pic 13] y la ecuación 3 toma la forma de la ecuación 4, la cual sí describe la ecuación de un oscilador armónico, es decir que para pequeñas amplitudes de oscilación el movimiento pendular es armónico simple.

[pic 14]                                                       Ecuación 4

A partir de la ecuación 4, haciendo uso de las unidades del Sistema Internacional, tenemos que la frecuencia propia en Hz y el periodo del sistema en segundos están dados por las ecuaciones 5 y 6 respectivamente.

[pic 15]                                           Ecuación 5. Frecuencia del sistema

[pic 16]                                            Ecuación 6. Periodo del sistema

PROCEDIMIENTO

Realizar el montaje mostrado en la figura 2 y haciendo uso de una fotocompuerta y del instrumento virtual sonoscopio del paquete PhysicsSensor medir el tiempo necesario para que el péndulo realice una oscilación completa siguiendo los pasos descritos a continuación:

1. Ubicar la fotocompuerta de tal forma que al oscilar el péndulo se interrumpa el haz de luz con el alambre delgado que se encuentra en la parte inferior de la péndola (masa que cuelga del hilo). Ver figura 3

[pic 17]

Figura 2

[pic 18]

Figura 3

1. Para iniciar la adquisición de datos con la fotocompuerta proceda a conectarla al PC introduciendo la terminal USB en uno de los puertos USB del computador (para alimentar eléctricamente el Diodo Emisor de Luz –LED-) y la otra terminal a la entrada del micrófono (para entrar la señal de respuesta al PC). Posteriormente, ejecute  el  Sonoscopio  de  PhysicsSensor y haga  oscilar  el  péndulo (RECORDAR que la amplitud de la oscilación debe ser pequeña para garantizar que el movimiento sea armónico simple).

1. Capture la señal con el Sonoscopio dando clic en el botón capturar cuando el sistema se encuentre “estable” y antes de detener la captura asegúrese que mínimo se hayan realizado 3 interrupciones del haz de luz con el alambre que se encuentra en la base de la péndola. La señal obtenida en el sonoscopio será similar a la de la figura 4 donde cada uno de los picos mostrados equivale a una interrupción del haz de luz. Esta señal le permitirá medir el tiempo empleado por el péndulo para hacer una oscilación completa, a través de la medición del intervalo temporal entre el primer pico y el tercer pico de la señal. Reporte el tiempo obtenido para una primera longitud con su respectiva incertidumbre en la Tabla 1.

Nota: Se debe evitar realizar ZOOM en el eje x en el Sonoscopio, ya que si esto se hace la incertidumbre de la medida cambiara.

[pic 19]

Figura 4

1. Realice la medición del periodo del sistema para otras 7 longitudes diferentes del péndulo, variando ésta de a 10 cm entre cada medida e ir reportando los datos obtenidos en la Tabla 1 con su respectiva incertidumbre.

1. Con los los datos recolectados en la Tabla 1 y a partir de una linealización de la ecuación del periodo del sistema (Ecuación 7), obtener el valor de la aceleración de la gravedad de la ciudad de Medellín realizando el análisis de los resultados obtenidos a partir de la regresión lineal de la gráfica [pic 20] empleando el software de regresión lineal del paquete PhysiscSensor.

[pic 21]    Ecuación 7. Linealización de la ecuación del Periodo del sistema

1. Comparar el valor obtenido a partir de la regresión lineal de la aceleración de la gravedad con el valor que se reporta como valor convencionalmente verdadero ([pic 22]).

1. Realizar las conclusiones y responder a las preguntas dadas al final de este documento con base en la práctica realizada.

REPORTE DE DATOS

Tabla 1: Recolección de datos con sus incertidumbres

Fórmulas para el cálculo de la incertidumbre:

[pic 26]

[pic 27] (Demostrar)        

ANÁLISIS GRÁFICO

La pendiente [pic 29]de la gráfica es:

[pic 30]

De acuerdo con el modelo,

[pic 31]

La aceleración de la gravedad [pic 32] se calcula empleando la expresión,

[pic 33]

con incertidumbre,

[pic 34] (Demostrar)

obteniéndose como valor para la medida de [pic 35],

[pic 36]

La incertidumbre relativa en % es,

[pic 37]

Como el valor convencionalmente verdadero para la aceleración de la gravedad en la ciudad de Medellín es [pic 38] se puede afirmar que el porcentaje de error en la medida de la gravedad es,

% error= ???? %

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