PROBABILIDAD
Enviado por thomas6633 • 4 de Julio de 2015 • 2.002 Palabras (9 Páginas) • 214 Visitas
APÉNDICE: TÉCNICAS DE CONTEO
“La ciencia es la estética de la inteligencia”
Gastón Bachelard
“La ESTADÍSTICA es la estética de la naturaleza”
MOVE
Métodos de enumeración
Con la finalidad de especificar el total de resultados posibles de un espacio
muestral S de interés, especialmente en la construcción de funciones de
probabilidad de variable discreta, como la distribución binomial, expondremos
algunas técnicas de enumeración:
Principio de multiplicación
Si una operación se puede realizar a través de k fases sucesivas y cada fase
es realizable de ni maneras, entonces la operación global es realizable de
k n × n × n × ...× n 1 2 3 maneras.
Ejemplo 1. Considérense los distintos itinerarios entre Medellín, Cartagena y
San Andrés, utilizando como medios de transporte avión, barco, carro y tren;
¿de cuántas maneras se puede realizar el tour completo Medellín –
Cartagena – San Andrés según las rutas y medios que muestra el siguiente
diagrama?
2
El itinerario Medellín Cartagena se puede efectuar de tres maneras, el
itinerario Cartagena San Andrés se puede realizar de dos maneras y el tour
completo Medellín, Cartagena San Andrés de 2× 3 = 6 maneras.
Principio de adición.
Si una operación global se puede realizar a través de k fases excluyentes y
cada fase se puede realizar de ni maneras, entonces la operación global se
puede realizar de + + + + =
k
i
k i n n n ... n n 1 2 3 maneras.
Observe que: La sumatoria es un operador que goza de las siguientes
propiedades:
a) 1
1
i 1
i x = x
=
b)
= = =
= =
n
k 1
k
n
j 1
j
n
i 1
i x x x , el
subíndice es una variable muda.
c)
(k k k k) k n k o sea la suma de una constante, n veces
n
i 1
+ + + + = =
=
...
d) Propiedad asociativa generalizada
= = = +
= +
2 k
i k 1
i
k
i 1
i
2k
i 1
i
x x x
e) Propiedad telescópica
( ) n o
n
1
ai − ai−1 = a − a
f) Propiedad de operador lineal
( + ) = +
n
1
n
1
k
n
1
a xk b yk a xk b y a y b constantes.
Estas propiedades son importantes para la operación de variables aleatorias
discretas y valores esperados.
3
Ejemplo 2. Considérese el número de maneras para temperar en clima frío
en Pasto, Bogotá o Manizales, o en clima cálido en Barranquilla, Cartagena,
Tolú o Riohacha. ¿De cuántas maneras se puede temperar según el
diagrama siguiente?
Veamos:
Se puede temperar frío de 3 maneras y cálido de 4 maneras para un total de
3 + 4 = 7 maneras.
Principio de permutación.
Definimos el número de permutaciones de n objetos como el total de
maneras como se pueden ordenar o agrupar los n objetos el cual equivale a
1 × 2 × 3 × ... × n = n !, definido como factorial de n. Observe que se
cumple la fórmula de recurrencia n! = n (n −1)! y por consistencia con ella
cuando n=1 se define 1! = 0! = 1.
Ejemplo 3. Se tiene un equipaje conformado de
Pantalones: P, Camisas: C, Interiores: I, y Zapatos: Z.
¿De cuantas maneras se puede colocar en un armario de 4 compartimentos?
4
C1 C2 C3 C4
PC Ι Z CΙ Z Ι Z Z
4 × 3 × 2 × 1 = 4!
En el C1 podemos colocar una de las cuatro clases de equipaje, es decir, hay
4 maneras de ocupar C1, para C2 tendremos sólo 3 maneras, para C3 2
maneras, para C4 sólo 1 manera de ocuparlo, es decir, el total de maneras es
4×3×2×1 = 4! = 24
Con fundamento en los principios de adición, multiplicación y permutación se
definen los conteos de variación, combinación y partición.
Variaciones. Cuando se permutan solo r ≤ n tomados de los n elementos
entonces definimos,
(n r)!
n!
P
n
r
−
=
como el número de variaciones de n objetos tomados de a r.
Ejemplo 4. En el caso de las cuatro prendas de equipaje considere que solo
se dispone de 3 compartimentos. ¿De cuantas maneras se pueden colocar
las cuatro prendas en los 3 compartimentos?
Calculamos
( )
= = 4
−
=
3!
4!
n r !
n!
P
n
r
Combinaciones. Cuando en las variaciones se prescinde del orden de los r
objetos se definen las combinaciones de n objetos tomados en grupos de
r ≤ n como
r! (n r!)
r !
r
n
−
=
5
Ejemplo 5. ¿De cuantas maneras se pueden seleccionar ternas, sin
restitución y sin considerar el orden entre 5 objetos diferentes?
Calculamos
( )
10
3! 2!
5!
r! n r!
r !
r
n
= =
−
=
Observe que
−
=
n r
n
r
n
es decir que el número de subgrupos posibles de
r objetos o de n-r objetos en un conjunto de tamaño n es igual.
Y que en particular con r=1
n
1
n
n 1
n
=
=
−
Particiones
El número de particiones distintas de n objetos en los cuales n1 son de una
clase, n2 de una segunda clase, ..., nk de una k − ésima clase, coincide con
el número de formas de hacer una partición de un conjunto de n objetos en k
celdas con n1 objetos en la primera celda, n2 elementos en la segunda
celda y así sucesivamente donde 1 2 nk n = n + n + ... + y el orden en cada
celda y entre celdas no se considera; este número es:
n ! n
...