PROBABILIDADES

PROBABILIDADES:

EXPERIMENTOS DETERMINISTAS:

Se llaman experimentos deterministas a aquellos experimentos cuyo resultado es perfectamente previsible. Se caracterizan porque al repetirlos bajo análogas condiciones se obtiene siempre el mismo resultado.

Ejemplos:

Son Experimentos Deterministas los siguientes:

Un químico, al hacer mezclas de determinadas cantidades de sustancia, es capaz de asegurar la solución final que obtendrá, haciendo predicciones sin lugar a dudas.

A exponer al fuego un recipiente con agua durante un cierto tiempo, esta hervirá a la temperatura de 100ºC.

EXPERIMENTOS ALEATORIOS:

Son aquellos experimentos que al repetirlos en análogas condiciones, es imposible predecir el resultado que se obtendrá. Pero siempre es posible prever una ley de comportamiento de todos los resultados posibles y, en base a ella, calcular la probabilidad de obtener cada uno de los mismos. En los experimentos aleatorios, y sólo en ellos, es posible hablar de probabilidad. Ellos, generalmente, están relacionados con juegos de azar.

Ejemplos:

Son experimentos aleatorios los siguientes:

Al extraer una carta de una baraja es imposible predecir cuál de ellas saldrá.

Al lanzar una moneda sobre una mesa o al aire no se puede decir si será cara o será.

ESPACIO MUESTRAL:

Es el conjunto constituido por todos los resultados que se pueden obtener al realizar un experimento aleatorio. Se representa con la letra E.

Ejemplo:

Al realizar el experimento de lanzar una moneda el espacio muestral será:

E= {c, s}, siendo c = cara y s = sello

EVENTO O SUCESO:

Es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral de un experimento.

Ejemplo:

En el caso del lanzamiento del dado son sucesos los siguientes:

A = {1} B = {2} C = {4} D = {5} F= {6}

EXPERIMENTOS COMPUESTOS:

Son los experimentos constituidos por dos experimentos aleatorios simples. El espacio muestral E obtenido por experimentos compuestos recibe el nombre de espacio muestral compuesto o espacio producto.

Ejemplo:

Al tirar un dado y posteriormente una moneda, estamos realizando un experimento compuesto.

TIPOS DE SUCESOS:

Sucesos Elementales:

Son aquellos formados por un único resultado del experimento.

Ejemplo:

Son sucesos elementales los siguientes:

A = {1} B = {2} C = {4} D = {5} F= {6}

Sucesos Compuestos:

Son aquellos formados por dos o más sucesos simples.

Ejemplo:

Al lanzar dos dados, el suceso compuesto viene dado por la condición de que la suma de sus caras debe ser un número par. A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

Sucesos Seguros:

Son aquellos que se verifican cada vez que se efectúe el experimento.

Ejemplo:

En el ejemplo de lanzar dos dados sería un suceso seguro sumar menos de 13.

A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

Sucesos Imposibles: Son aquellos sucesos que no se verifican nunca. Estos se denotan con el símbolo ∅.

Sucesos Contrarios y Complementarios: Son aquellos sucesos en que la verificación de uno implica la no verificación de otro del otro.

Ejemplo:

Sumar par A = {2, 4, 6, 8, 10,12} y suma impar B = {3, 5, 7, 9, 11} son dos sucesos contrarios o complementarios. Se dice también que son los elementos de E que no están en A. El contrario del suceso A se denota como Ᾱ.

Sucesos Incompatibles: So aquellos sucesos que no se pueden verificar los dos simultáneamente. Si se verifican ambos simultáneamente son sucesos compatibles. Un suceso y su contrario son incompatibles.

Ejemplo:

Al lanzar dos dados, son incompatibles los sucesos sumar 3 y sumar múltiplos de 2, en cambio sacar múltiplo de 2 y sacar múltiplo de 3 son compatibles, puesto que ambos pueden ocurrir siempre que salgan dos seis.

OPERACIONES CON SUCESOS:

Unión de sucesos:

Dados dos sucesos A y B, se llama suceso unión al suceso que se verifica cuando se verifica a o se verifica B. Se denota como A∪B.

Ejemplo:

En el experimento de lanzar dos dados, si el suceso A es sumar número impar; y el suceso B es sumar múltiplo de 5, entonces:

A∪B = {3, 5, 7, 9, 10, 11}

Intersección de Sucesos:

Dados dos sucesos A y B, se llama suceso intersección al suceso formado por todos los sucesos elementales comunes de A y de B. Se denota como A∩B.

Ejemplo:

En el experimento de lanzar dos dados, si el suceso A es sumar número impar; y el suceso B es sumar múltiplo de 5, entonces:

A∩B = {5}

5 es común en ambos conjuntos.

Si A∩B =∅, los sucesos son incompatibles.

Si A∩B ≠∅, los sucesos A y B son compatibles.

Diferencia de sucesos:

Dados dos sucesos A y B del espacio muestral E, se llama diferencia, y se escribe como A – B, al suceso formado por los sucesos elementales de A que no lo son de B.

Ejemplo:

En el experimento de lanzar dos dados, tenemos el suceso A sumar número impar; y el suceso B es sumar múltiplo de 5.

A = {3, 5, 7,9 ,11} B = {5, 10}

La diferencia será A – B = {3, 7, 9, 11}

Elementos de A que no están en B.

PROBABILIDAD:

Probabilidad Clásica:

La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos favorables al suceso y el número de casos posibles. Este es un caso de la probabilidad a priori, suponiéndose que en él cada caso tiene la misma probabilidad de ocurrir. La probabilidad clásica o teórica se aplica cuando cada evento simple del espacio muestral tiene la misma probabilidad de ocurrir.

Probabilidad a partir de Frecuencias Relativas:

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