Probabilidad

RESPUESTAS DEL LABORATORIO Nº 3

1. Sean A y B sucesos. Encontrar una expresión y exhibir el diagrama de Venn para el suceso en que

i) A sucede pero no B

ii) A o B, pero no ambos suceden.

Solución:

i) A sucede pero no B ii) A o B, pero no ambos suceden.

2. Sean los sucesos A, B y C. Encontrar una expresión y representar el diagrama de Venn para el suceso en que

i) Suceden A y B pero C no,

ii) Solamente sucede A.

Solución:

i) Suceden A y B pero C no ii) Solamente sucede A.

3. Suponer un espacio muestral que conste de 4 elementos: . ¿Qué funciones define un espacio de probabilidad en ?

Solución:

i) Puesto que la suma de los valores de los puntos muéstrales es mayor que 1, , la función no define un espacio de probabilidad en

ii) Como , es un número negativo, la función no define un espacio de probabilidad en .

iii) Puesto que cada valor es no negativo, y , la función define un espacio de probabilidad en .

iv) Los valores son no negativos, y , la función define un espacio de probabilidad en .

4. Sea , y sea P una función de probabilidad en

Solución:

i) Sea . Entonces para que P sea una función de probabilidad, la suma de las probabilidades de los puntos muéstrales debe ser uno, es decir:

ii) Sea entonces , por tanto:

Entonces, y

iii) Sea , pero

por tanto

5. Una moneda está cargada de tal manera que la posibilidad de que aparezca una cara es el doble de la que aparezca un sello. Encontrar y .

Solución:

Sea , entonces .Pero por definición:

, por tanto y

6. Dos hombres, y , y tres mujeres, , se encuentran en un torneo de ajedrez. Aquellos del mismo sexo tienen probabilidades iguales de ganar, pero la posibilidad de que un hombre gane es dos veces mayor que la de que gane una mujer.

i) Encontrar la probabilidad de que una mujer gane el torneo.

ii) Si y son casados, encontrar la probabilidad de que uno de ellos gane el torneo.

Solución:

Sea ; entonces y . Como el espacio muestral es , entonces

i) Encontrar la probabilidad de que una mujer gane el torneo.

ii) Si y son casados, encontrar la probabilidad de que uno de ellos gane el torneo.

7. Un dado está cargado de tal manera que la probabilidad de que aparezca un número cuando se lanza el dado es proporcional a un número dado (es decir, 6 tiene dos veces la probabilidad de aparecer que la que tiene 3). Sea , , .

i) Describir el espacio de probabilidades, es decir, encontrar la probabilidad de cada punto de muestra.

ii) Encontrar y

iii) Determine la probabilidad de que:

a) Ocurran un número par o un número primo.

b) Ocurra un número primo impar

c) Ocurra un número par pero no un número primo.

Solución:

i) Sea el espacio muestral y sea P una función de probabilidad en , si

, entonces .

Dado que:

Entonces la probabilidad de cada punto muestral es:

ii) Sean

iii) a) Ocurran un número par o un número primo.

Como y entonces , por tanto

b) Ocurra un número primo impar

y , entonces , por tanto

c) Ocurra un número par pero no un número primo.

8. Se escogen al azar tres lámparas de entre 15, de las cuales 5 están defectuosas. Encontrar la probabilidad p de que: i) ninguna esté defectuosa, ii) exactamente una esté defectuosa, iii) por lo menos una esté defectuosa.

Solución:

El número de formas de escoger tres lámparas de entre 15 es dado por

i) Dado que hay lámparas sin defectos, por tanto hay maneras de escoger 3 sin defectos. Entonces

ii) Hay 5 formas de escoger una lámpara con defecto y maneras de escoger dos lámparas sin defectos por tanto hay maneras de escoger 3 lámparas de las cuales una está defectuosa, entonces

iii) El suceso de que por lo menos una esté defectuosa es el complemento del suceso de que ninguna esté defectuosa, por tanto utilizando la parte i) se tiene:

9. Una baraja corriente de 52 cartas se reparte al azar entre 4 personas (llamadas Norte, Sur, Este y Oeste) y cada persona recibe 13 cartas. Encontrar la probabilidad p de cada suceso:

i) Norte recibe todos los ases.

ii) Norte no recibe ases.

iii) Norte recibe 5 espadas, 5 tréboles, 2 corazones y 1 diamante.

iv) Norte y Sur reciben todas las espadas.

v) Norte y Sur reciben todos los ases y los reyes.

vi) Cada persona recibe un as.

Solución:

i) Norte puede recibir 13 cartas de maneras. Si recibe los 4 ases, entonces puede recibir las otras 9 cartas a partir de las 48 cartas restantes de maneras. Entonces

ii) Norte puede recibir 13 cartas de maneras. Si no recibe ases, entonces puede recibir las 13 cartas a partir de las 48 cartas restantes en maneras. Entonces

iii) Norte puede recibir 13 cartas de maneras. Puede recibir las5 espadas de maneras, los 5 tréboles maneras, los 2 corazones de maneras y un diamante de maneras. Luego:

iv) Norte y Sur pueden recibir las 26 cartas entre los dos de maneras. Si reciben las 13 espadas, entonces pueden recibir las otras 13 cartas a partir de las 39 restantes de maneras. Luego:

v) Norte y Sur pueden recibir las 26 cartas de maneras. Si reciben los 4 ases y los 4 reyes, pueden recibir las otras cartas a partir de las restantes de maneras. Entonces

vi) Las 52 cartas pueden distribuirse entre las 4 personas de maneras. Ahora bien, cada persona puede obtener un as de maneras. Las 48 castas restantes pueden distribuirse entre las 4 personas de maneras. Entonces

10. Diez estudiantes, A, B, …, están en una clase. Si se conforma un comité de tres, escogidos al azar entre los miembros de la clase, encontrar la probabilidad de que:

i) A pertenezca al comité

ii) B pertenezca al comité.

iii) A y B pertenezcan al comité

iv) A o B pertenezcan al comité.

Solución:

i) Para seleccionar tres estudiantes para formar el comité es maneras. Como A debe pertenecer al comité entonces los otros dos integrantes se pueden seleccionar de maneras. Entonces

ii) Idem a la parte i).

iii) Para seleccionar tres estudiantes para formar el comité es maneras. Como A y B deben pertenecer al comité entonces el tercer integrante se puede seleccionar de maneras. Entonces

iv) Para determinar la probabilidad de que A o B pertenezcan al comité lo podemos hacer aplicando la siguiente propiedad

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Sea B un suceso arbitrario de un espacio muestral con . La probabilidad de que un suceso A ocurra dado que el suceso B ha ocurrido se define como:

1. Sean A y B dos sucesos tales que: y . Encontrar

i) ii) iii) iv) v)

Solución:

i) ii)

iii)

iv) y

v) y

2. Sean A y B dos sucesos tales que: y . Encontrar y .

Solución:

i)

Por tanto

ii)

3. Sea con , y , y sea . Encontrar:

i) donde ii) donde

iii) donde iv) donde

Solución:

i)

, pero y , entonces , luego

, por otra parte,

Por tanto

ii)

,

Por tanto

iii)

, y

iv)

, y

4. En determinada universidad, el 25% los estudiantes fracasa en matemáticas, el 15% fracasa en química, y el 10% fracasa tanto en matemáticas como en química. Se selecciona un estudiante al azar.

a) Si fracasó en química, ¿cuál es la probabilidad de que haya fracasado en matemáticas?.

b) Si fracasó en matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que haya fracasado en química?.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya fracasado en matemáticas o en química?.

Solución:

Sea y

; entonces , y

.

a) La probabilidad de que un estudiante fracase en matemáticas, dado que ha fracasado en química, es

b) La probabilidad de que un estudiante fracase en químicas, dado que ha fracasado en matemáticas, es

c)

Definición:

Se dice que dos sucesos son independientes si, y sólo si, cualquiera de las siguientes proposiciones es verdadera.

1. Si , y , ¿puede decirse que los eventos A y B son independientes?.

Solución:

Aplicando

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