Probabilidad

Marco teórico

1.1 Variable Continúa

Una variable continua puede tomar un valor cualquiera dentro de un intervalo predeterminado. Y siempre entre dos valores observables va a existir un tercer valor intermedio que también podría tomar la variable continua. Una variable continua toma valores a lo largo de un continuo, esto es, en todo un de valores.

Un atributo esencial de una variable continua es que, a diferencia de una variable discreta, nunca puede ser medida con exactitud; el valor observado depende en gran medida de la precisión de los instrumentos de medición. Con una variable continua hay inevitablemente un error de medida.

Ejemplo:

 La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.

 El peso de una persona

1.2 Distribución Probabilidad de Variable Continua.

Una distribución de probabilidad se llama continua si su función de distribución es continua. Puesto que la función de distribución de una variable aleatoria X viene dada por , la definición implica que en una distribución de probabilidad continua X se cumple P [X = a] = 0 para todo número real a, esto es, la probabilidad de que X tome el valor a es cero para cualquier valor de a. Si la distribución de X es continua, se llama a X variable aleatoria continua.

En las distribuciones de probabilidad continuas, la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:

Mientras que en una distribución de probabilidad discreta un suceso con probabilidad cero es imposible, no se da el caso en una variable aleatoria continua. Por ejemplo, si se mide la anchura de una hoja de roble, el resultado 3,5 cm es posible, pero tiene probabilidad cero porque hay infinitos valores posibles entre 3 cm y 4 cm. Cada uno de esos valores individuales tiene probabilidad cero, aunque la probabilidad de ese intervalo no lo es. Esta aparente paradoja se resuelve por el hecho de que la probabilidad de que X tome algún valor en un conjunto infinito como un intervalo, no puede calcularse mediante la adición simple de probabilidades de valores individuales. Formalmente, cada valor tiene una probabilidad infinitesimal que estadísticamente equivale a cero.

La distribución de probabilidad continua se reserva a distribuciones que tienen función de densidad de probabilidad. Estas funciones se llaman, con más precisión, variables aleatorias absolutamente continuas . Para una variable aleatoria X absolutamente continua es equivalente decir que la probabilidad P [X = a] = 0 para todo número real a, en virtud de que hay un incontables conjuntos de medida de Lebesgue cero (por ejemplo, el conjunto de Cantor).

Una variable aleatoria con la distribución de Cantor es continua de acuerdo con la primera definición, pero según la segunda, no es absolutamente continua. Tampoco es discreta, ni una media ponderada de variables discretas y absolutamente continua.

En aplicaciones prácticas, las variables aleatorias a menudo ofrecen una distribución discreta o absolutamente continua, aunque también aparezcan de forma natural mezclas de los dos tipos.

1.3 Distribución de Probabilidad más importante.

 Distribución Gamma.

En estadística la distribución gamma es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros y cuya función de densidad para valores es

Aquí es el número e y es la función gamma. Para valores la función gamma es (el factorial de ). En este caso - por ejemplo para describir un proceso de Poisson - se llaman la distribución distribución Erlangcon un parámetro .

 Distribución Exponencial

Es una distribución de probabilidad continua con un parámetro cuya función de densidad es:

Su función de distribución acumulada es:

Donde representa el número e.

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