Probabilidad

PROBABILIDAD

CONCEPTO DE PROBABILIDAD

La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.

CLASES DE PROBABILIDAD

1. Probabilidad de un evento simple:

Son aquellos hechos en los que no se sabe con certeza lo que va a suceder, dependen del azar y no se puede determinar sus resultados aun repitiéndolo en varias ocasiones. Un suceso o evento simple es un subconjunto del espacio muestral que contiene un único elemento. Este evento es un resultado que ya no se puede segmentar o subdividir en más resultados.

Ejercicios

 En una comida hay 28 hombres y 32 mujeres. Han comido carne 16 hombres y 20 mujeres, comiendo pescado el resto. Si se elige una de las personas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea hombre?

Solución:

La información sobre lo que come cada una de las personas es insustancial. Pues en lo que solicita no hay relación con ello. Por definición, la probabilidad pedida viene dada por:

P= casos favorables a la selección 28/casos totales de la muestra 60

P= 28/60

 ¿Cuál es la probabilidad de ganar en una rifa de 1000 números en total, si se compran los 3 centésimos de tal cantidad?

Solución:

3 Centésimos equivale al 3%. Y la probabilidad asociada a tal porcentaje es 3/100.

P= 3/100

 La probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un número menor que 5 es:

Solución:

Los casos favorables a obtener un número menor que 5 son {1, 2, 3, 4} de un total de seis resultados posibles. Por lo tanto, la probabilidad pedida es

P= 42/63

 Si yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20 peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?

Solución:

Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles. Para calcular la probabilidad de sacar una manzana mis casos favorables son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas. Así, aplicando la fórmula obtenemos que:

P= (Manzana)=10/30=1/3= 33.3% probable

Calculando igual, la probabilidad de sacar pera es:

P= (Pera)=20/30=2/3= 66.7% probable

Como 66.7 es mayor que 33.3 es más probable que saque una pera, pues hay más peras que manzanas en la canasta.

 Se extrae una carta al azar de una baraja de naipe español (40 cartas, 4 pintas o palos: oro, copa, espada y basto). La probabilidad del suceso “sacar una carta que no sea oro” es:

Solución:

Hay 30 cartas de un total de 40, que no son oro. Por lo tanto, la probabilidad pedida es:

P= casos favorables a no ser oro/ total de cartas posibles a extraer

P=30/40

2. Probabilidad porcentual:

La probabilidad de un suceso es una medida de la incertidumbre acerca de su aparición al realizar una observación aleatoria. Así, al hablar de la probabilidad de que un paciente de 55 años presente un infarto en el siguiente año, lo que intentamos establecer es en qué medida se espera este suceso en este tipo de paciente. Desde un punto de vista formal, la probabilidad es un valor entre 0 y 1, de manera que la probabilidad anterior puede indicarse como P (Infarto/Edad>55)=p, donde p será un valor entre 0 y 1.

Desde un punto de vista práctico, en muchos casos nos referimos a la probabilidad en términos de porcentajes. Así, diremos que hay una probabilidad de un 50% de que el sexo de un recién nacido sea varón y un 50% de que sea hembra. Al realizar esta interpretación, estamos utilizando el porcentaje como un sinónimo de probabilidad.

Aunque esto es correcto en muchos casos, debemos ser prudentes al utilizar el concepto de porcentaje, ya que no todos los porcentajes son probabilidades.

EJERCICIOS:

 Si siempre se acierta en una ruleta formada por cinco sectores iguales numeradas de la forma 1, 2, 3, 4,5. ¿Cuál la probabilidad de que en un lanzamiento resulte 2?

Solución

Como todos los sectores son iguales, cada sector tiene la misma probabilidad de salir, entonces: p ( sacar 2 ) = 1/5 * 100% = 20%

 En una caja se tienen fichas numeradas del 1 al 50. Si se saca una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de la ficha extraída no sea mayor que 20?

Solución

Solo pueden sacarse 20 fichas que cumplan la condición, entonces:

P (ficha no mayor que 20) = 20/50 * 100% = 40%

 25% de alumnos generalmente reprueban Matemáticas, 30% reprueban Física y 10% reprueba Matemáticas y Física.

Calcular la probabilidad de:

a) Reprobar Física dado que reprueba Matemáticas

b) Reprobar en Matemáticas dado que reprobó Física

Solución

Para resolver este problema se utiliza la fórmula de probabilidad condicional

p (A/B) = P(A^B)/P (B)

a) P (F/M) = P (F^M)/P (M)

P (F/M) = 0.10/0.25 = 0.2 = 20%

b) P (M/F) = P (M^F)/P (F)

P (M/F) = 10/30 * 100 = 33.3 %

 Una caja contiene una mezcla de bolitas rojas y azules indistinguibles al tacto, que en total suman 8000.

Se saca una bolita al azar con reposición y se repite 100 veces este experimento.

Se obtuvo 21 veces una bolita roja y 79 veces una de color azul. Entonces, la probabilidad de extraer una bolita roja es:

a) 8000 * 21%

b) 8000 * 79%

c) 21%

d) 79%

e) 21 * 79%

Solución

La cantidad de bolas rojas y azules no importa, por tanto si se sacaron 21 bolas rojas de 100 intentos, la probabilidad de sacar una bola roja es del 21%, la respuesta es "C"

 Una caja contiene una mezcla de bolitas rojas y azules indistinguibles al tacto, que en total suman 8000. Se saca una bolita al azar con reposición y se repite 100 veces este experimento. Se obtuvo 21 veces una bolita roja y 79 veces una de color azul. Entonces, la probabilidad de extraer una bolita roja es:

A) 8000 -21%

B) 8000 -21%

C) 21%

D) 79%

E) 21 -79%

Solución:

No importa el número total de bolitas en la caja, si de 100 extracciones con reposición

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