Probabilidades

APUNTE TEÓRICO

“PROBABILIDADES”

EXPERIMENTOS ALEATORIOS

I) ELEMENTOS ALEATORIOS:

Según el resultado obtenido en experimentos, éstos se dividen en dos clases:

a) Experimentos predeterminados.

b) Experimentos aleatorios.

a) Experimentos predeterminados : es aquel cuyo resultado es previsible, pues dicho resultado siempre será el mismo si se repite la experiencia.

Ejemplo:

Experimento: Resultado:

Lanzar una piedra La piedra cae

Mirarse al espejo Verse reflejado

b) Experimentos aleatorios : es aquel cuyo resultado no puede preverse, pues aunque la experiencia se repite en condiciones iguales, el resultado será variable. Luego intervienen al azar.

Ejemplo:

Experimento: Resultado:

Lanzar una moneda Cara o Sello

Dar a luz Hombre o Mujer

II) ESPACIO MUESTRAL : Es el conjunto de todos los resultados posibles en un experimento aleatorio (E m ).

Ejemplo:

a) El lanzamiento de una moneda Em= cara, sello

b) Lanzar un dado Em= 1,2,3,4,5,6

III) EVENTO : Es todo subconjunto de un espacio muestral. Se designa a éste conjunto mediante cualquier letra mayúscula diferente de E.

Ejemplos:

Determinar el evento y el espacio muestral de:

1) Los N° impares en el lanzamiento de un dado.

Em = 1,2,3,4,5,6 A= 1,3,5

2) Las bolitas rojas en una caja que contiene 5 bolitas blancas y tres rojas.

Em = R,R,R,B,B,B,B,B A = R,R,R

IV) PROBABILIDAD : La probabilidad de que un evento o suceso ocurra es el cuociente entre entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.

donde: P(A) denota la probabilidad del evento A

denota el número de casos favorables

denota el número de casos posibles de ocurrencia del experimento

OBSERVACIONES:

1) La probabilidad de un evento cierto es 1.

2) La probabilidad de un evento imposible es 0.

3) Para cualquier evento A, se tiene que la probabilidad de A, denotada por P(A), es:

4) Si A y B son eventos complementarios entonces:

PROBABILIDAD DE LA UNIÓN Y DE LA INTERSECCIÓN DE DOS EVENTOS

Sean A y B dos eventos del espacio muestral Em.

Si A y B son mutuamente excluyentes, Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultánea, esto es, si y sólo si su intersección es vacía.entonces la probabilidad que ocurra la unión de los dos está dada por: .

Si A y B no son mutuamente excluyentes entonces la probabilidad de ocurrencia de está dada por: .

Ahora, si A y B son eventos independientes, la probabilidad de ocurrencia de está dada por: .

Si A y B no son eventos independientes, es decir, la ocurrencia de uno de ellos, por ejemplo de A, influye sobre la ocurrencia del otro, en este caso de B, entonces la probabilidad de ocurrencia de está dada por: donde es la probabilidad de ocurrencia de B condicionada por la ocurrencia de A.

Definición de Probabilidad Condicional

Sean A y B dos sucesos asociados a un espacio muestral,

la probabilidad de que ocurra el suceso A si ocurrió el suceso B, esta dado por:

Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%.

• ¿Qué porcentaje de fumadores hay en total?

– P(F) = P(F∩H) + P(F∩M)

= P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M)

=0,2 x 0,3 + 0,1 x 0,7

= 0,13 =13%

• ¿Se elije a un individuo al azar y resulta

fumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre?

– P(H|F) = P(F ∩ H)/P(F)

= P(F|H) P(H) / P(F)

= 0x2 x 0,3 / 0,13

= 0,46 = 46%

EJEMPLO ACLARATORIO: Calculemos la probabilidad de que al lanzar un dado nos salga un número menor que 4.

Experimento aleatorio: lanzamiento de un dado

Evento o suceso: A= que salga un número menor que 4

Espacio muestral: Em={1,2,3,4,5,6}  Número de casos posibles =6

Número de casos favorables: {1,2,3}  = 3

Entonces, existe un 50% de probabilidad de que salga un número menor que 4

TEORÍA COMBINATORIA

1) DEFINICIÓN NÚMERO FACTORIAL

Recuerda que: n! = n (n-1)(n-2)..............3*2*1

Entonces :

4! = 4*3*2*1 = 24 3! = 3* 2*1 = 6

1! = 1 8! = 8*7*6*5*4*3*2*1= 40.320

2) PERMUTACIONES

DEFINICIÓN: Se llama Permutación de objetos a cada ordenación o disposición diferente de un grupo de objetos.

Por ejemplo: Los números 423 Λ 234 constan de los mismos dígitos, pero son números distintos porque constituyen ordenaciones diferentes de los dígitos 2,3,4.

En general : el número total de permutaciones de “n” objetos tomados de “r” en “r” , está dado por :

V (n,r) = n (n-1) (n-2) ---------- (n – r +1 )

 (r  n)

V(n,r) = n !

(n-r)! También se conoce con el nombre de “Permutación”

donde : n  cantidad de objetos

OBSERVACIONES:

Si las permutaciones de los “n” objetos , se toman todos a la vez

( r = n) , entonces:

P (n , n) = n!

Si “P” representa el n° de permutaciones diferentes de “ n” objetos, tomados todos a la vez de los

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