Producción intelectual, resultado del desempeño profesional como docente de Matemáticas

UNIVERSIDAD DE LA AMAZONIA[pic 1]

Florencia - Caquetá

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Introducción a la teoría

de conjuntos

Arnulfo Coronado

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PRESENTACIÓN

El presente documento es una producción intelectual, resultado del desempeño profesional como docente de Matemáticas en los programas académicos Contaduría Pública, Administración de Empresa, Ingeniería agroecológica, Biología y medicina Veterinaria y Zootecnia de la Universidad de la Amazonia.

Es un resultado obtenido de la sistematización de las notas clase, la interacción con estudiantes de primer semestre y con colegas del área de Matemáticas de la Licenciatura en Matemáticas y Física. Es un producto propio de una metodología de enseñanza y aprendizaje centrada en el estudiante, concebida como un proceso estructurado, desarrollada en colectivo teniendo en cuenta el contexto y su complejidad ascendente.

Se constituye en un esfuerzo no acabado que se coloca a disposición de estudiantes, docentes y comunidad académica en general, para que sea utilizado, criticado y mejorado; pues si bien es cierto, existe una buena cantidad de textos sobre Teoría de Conjuntos que abordan y tratan con excelente rigurosidad matemática los elementos básicos que hacen parte ella, no son muchos los textos elaborados, con la intención de fortalecer el planteamiento y resolución de problemas como competencia matemática.

La insuficiencia mencionada anteriormente, más la implementación  institucional de currículos expresados en créditos académicos y enfocados en el desarrollo de competencias, lo cual implica currículos centrados en el estudiante, se convirtió en una buena oportunidad para impulsar una actividad matemática de aprendizaje contextualizada  y colocar a tono metodológicamente los programas académicos antes señalados.

En el documento se recurre a los objetos matemáticos de la Teoría de Conjuntos, para contribuir a la explicación,formulación, resolución y comprensiónde problemas, que dan cuenta de  problemáticas que se han presentado en el transcurrir institucional, local, nacional y mundial; lo cual, hace sentir con mucha fuerza el uso social de las Matemáticas y su importancia para comprender lo que acontece en un mundo complejo repleto de diferentes dificultades.  

CONTENIDO

TEORÍA DE CONJUNTOS……………………………1

CONJUNTO Y ELEMENTO……………………….…1

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CONJUNTOS.1

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO…………..2

Extensión

Comprensión

CARDINAL DE UN  CONJUNTO……………………

CLASES DE CONJUNTOS……………………………

Finitos

Infinitos

RELACIÓNES…………………………………………..

Relación de pertenencia

Relación de contenencia

Relación de igualdad

CONJUNTO UNIVERSAL O REFERENCIAL…….

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS……………

Unión

Intersección

Diferencia

Diferencia simétrica o triangular

Complemento

Producto cartesiano

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS………………………………………..

Propiedad idempotente

Propiedad conmutativa

Propiedad asociativa

Propiedad identidad

Propiedad de complementación

Ley de morgan

Otras propiedades

IDENTIFICACIÓN Y DENOTACIÓN DE CONJUNTOS O SUBCONJUNTOS EN UNA GRÁFICA............................................................14

Conjuntos disyuntos

Conjuntos no disyuntos

Conjuntos no disyuntos contenidos en un conjunto universal

CÁLCULO DEL CARDINAL DE UN CONJUNTO EN UNA SITUACIÓN DADA………………….……….19

PROBLEMAS……………………………….………..27

BIBLIOGRAFÍA…………………………………..45

TEORÍA DE CONJUNTOS

CONJUNTO Y ELEMENTO

El concepto de conjuntoes considerado una idea primitiva, pero se puede convenir para un mejor entendimiento, como una colección, grupo, montón o reunión de objetos materiales, fenómenos o entes abstractos asociados en virtud de una propiedad común que cumplen, o tienen, todos y cada uno de ellos.

En general, los nombres de los conjuntos corresponden a letras del alfabeto que se escriben en forma mayúscula, así, un conjunto puede llamarse o rotularse como A, B, C, CH, D, E, F, G,..., Z

A cada uno de los objetos materiales, fenómenos o entes abstractos que integran un conjunto se les denomina elementos. Ejemplos

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REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CONJUNTOS

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La representación gráfica de conjuntos se efectúa mediante figuras cerradas. Si son círculos o rectángulos se denominan diagramas de Venn^[1]. En la parte exterior de la figura cerrada se coloca el nombre del conjunto y en la parte interior de la misma, se ubican los elementos del conjunto acompañado cada uno de ellos de un punto. Ejemplos[pic 7]

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

La determinación de un conjunto es un proceso en el que se presenta un conjunto de tal manera que no haya posibilidad a equívocos; por tanto, los elementos del conjunto y el conjunto en sí, son siempre los mismo, son únicos,  independientemente de personas que los identifican. Lo anterior se puede realizar básicamente de dos formas bien diferentes.

EXTENSIÓN

Se nombran o listan todos y cada uno de los elementos que conforman un conjunto. Al listar los elementos, estos van encerrados entre llaves [pic 8] y separados con comas, un mismo elemento no debe escribirse 2 o más veces y cuando son letras, estos deben escribirse en forma minúscula.

Un ejemplo al respecto es la manifestación oral  en la que se expresa que el conjunto F está integrado por los números ocho, treinta y seis, cuatro, dos, quince y siete; o la relación escrita de cada uno de ellos, o sea  

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COMPRENSIÓN

Se da a conocer un conjunto al identificar y mencionar la propiedad o característica común a cada uno de los elementos del conjunto.

Se puede presentar el conjunto T  al precisar  que está  formado por las universidades del país que ofrecen Contaduría Pública. De manera más corta y en un lenguaje matemático, el conjunto T puede determinarse   como:

T= [pic 10]

y se lee, el conjunto T  está formado por x (x es una letra que generaliza los elementos de un conjunto, razón por la cual algunos autores lo denominan elemento genérico) tal que x es universidad del país que ofrece Contaduría Pública. Otros ejemplos de determinación de un conjunto por comprensión son [pic 11]

[pic 12][pic 13]

[pic 14][pic 15]

CARDINAL DE UN  CONJUNTO

Es el  número natural que indica la cantidad de elementos diferentes que  integran un conjunto. Ejemplos.

Si   [pic 16], el  cardinal  del  conjunto K es 7 y se denota n(K) = 7

Si  el cardinal del  conjunto S es 1 y se indica n(S) = 1 [pic 17]

CLASES DE CONJUNTOS

FINITOS

Son aquellos conjuntos a los cuales se les conoce su cardinal. De otra manera, son aquellos conjuntos cuyos elementos pueden enumerarse y precisar con exactitud cuántos elementos conforman el conjunto. Ejemplos

[pic 18], n(R) = 16   [pic 19], n (T) = 6

Cuando el  cardinal  de un conjunto es cero, indica que el conjunto no tiene elementos, el conjunto se denomina vacío y  se denota con la letra  griega [pic 20] o {  }.

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