¿QUE ES UNA ECUACION DIFERENCIAL?

CAPITULO I

¿QUE ES UNA ECUACION DIFERENCIAL?

Las palabras ecuaciones y diferenciales nos hacen pensar en la solución de cierto tipo de ecuación que contenga derivadas. Así como al estudiar álgebra y trigonometría se Ie invierte bastante tiempo en resolver ecuaciones, como  con la variable x, resolviendo  ecuaciones diferenciales como y” + 2y’+ y=0, para conocer la función “y”. Pero concepto de ecuación diferencial es tan antiguo como el de derivada, y este se remonta al siglo XVII; en la ́última década de este siglo se habla ya explícitamente de ecuación diferencial (cf.Actorum Eruditorum, 1693).Aunque en la historia de las ecuaciones diferenciales, las ecuaciones en derivadas parciales han dado lugar al desarrollo de teorías para ecuaciones diferenciales ordinarias, por razones obvias de simplicidad la exposición que se hace aquí toma un sentido contrario. [pic 1]

Este proceso de paso de lo m ́as sencillo a lo más complicado pretende ser tónica general en la exposición de cada tema. Además, se intenta dar una amplia variedad de métodos matemáticos y referencias, considerando la importancia de las Ecuaciones Diferenciales (y de las Matemáticas en general) en una carrera de Ingeniería, no solo desde un punto de vista formativo sino también informativo. Por otro lado, es en esta rama de la Ciencia, la Ingeniera, en la que quizás mas se trabaja con aproximaciones, y los datos de los modelos matemáticos planteados suelen obtenerse haciendo medidas, lo cual ya involucra un error; es importante saber, en todo momento, en qué medida lo que se resuelve se aproxima a lo que realmente había que resolver. De aquí la importancia en Ingeniería del concepto de problemas de ecuaciones diferenciales bien propuestos y de los métodos de aproximación de soluciones.

Desde sus orígenes, las ecuaciones diferenciales, están ligadas a problemas de la Ciencia que intentan, de alguna manera, explicar el comportamiento de la Naturaleza. Ası, por ejemplo, los problemas de cálculo de la forma de un cuerpo elástico que se deforma bajo la acción de unas fuerzas (en especial de una viga) fueron tratados empíricamente por los constructores de las grandes catedrales medievales. Sin embargo, la aproximación matemática del problema, es decir, el modelo matemático, no se tiene hasta varios siglos después.

También  estuvieron motivados por el deseo de resolver diversos problemas vinculados al movimiento de los cuerpos, así como problemas de cálculo de valores máximos y mínimos de una función dada y de cómo calcular la tangente a una curva en un punto D de la misma. Este último problema se presentaba con frecuencia en mecánica y en óptica. Aun pareciendo hechos no relacionados entre sí pronto se demostró estar íntimamente ligados. Fermat, en el siglo XVII, tratando de determinar los máximos y mínimos de ciertas funciones, observó que si la gráfica de dichas funciones, en un determinado punto, tiene asociada una recta tangente horizontal, dicho punto es un candidato a máximo o mínimo. La estrategia usada primero por Fermat y más tarde por Newton para calcularla tangente fue aproximar ésta por sucesivas rectas secantes cuyas pendientes pueden calcularse directamente como cocientes. Así pues la pendiente de la recta tangente no es más que el límite de un determinado cociente esto es, la derivada en dicho punto. Con respecto al estudio de la velocidad de un móvil siguiendo una trayectoria de una línea recta, diremos que si la función que describe el movimiento en función del tiempo es la función f: [0, T] →R, es sabido que la velocidad media desarrollada por el móvil en el intervalo de tiempo [a, x], con a, x ∈ [0, T]se obtiene realizando el siguiente cociente:

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Así pues si quiero calcular la velocidad en el instante  bastará tomar valores x cada vez más cercanos al propio , de hecho el valor buscado se encontrará tomando el límite cuando  tiende hacia  en dicho cociente. Este límite no es otra cosa que el valor de la derivada en dicho punto. En general, este concepto se muestra especialmente útil para el estudio de la variación de cualquier función.[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida de una o más variables

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