Sistema Decimal

PREFACIO

El lenguaje de los números, igual que el corriente, tiene su alfabeto. En el lenguaje de los números que hoy día se utiliza prácticamente en todo el globo terráqueo, se emplean corno alfabeto las 10 cifras del 0 al 9.

Este lenguaje se llama sistema decimal de numeración. Pero no siempre y no en todos los lugares las personas usaron el sistema decimal. Este sistema no tiene, desde el punto de vista matemático, ventajas especiales sobre otros posibles sistemas de numeración y su difusión universal no se debe, de modo alguno, a las leyes generales de las Matemáticas, sino a razones totalmente de otra índole.

Últimamente oponen una seria competencia al sistema decimal los sistemas binario y, en parte, ternario que son los que «prefieren utilizar» las modernas computadoras.

En este libro se relatan las propiedades, la historia de la aparición y las aplicaciones de los distintos sistemas de numeración. Su lectura no exige conocimientos matemáticos superiores al programa escolar.

§1. SOBRE LOS NÚMEROS REDONDOS Y NO REDONDOS

«Del Portal salió un hombre de unos 49 años que después de andar por la calle unos 196 metros entró en una tienda, compró dos septenas de huevos y continuó su camino...» ¿Verdad que esta descripción parece un tanto extraña? Cuando estimamos aproximadamente cierta magnitud, la edad de tina persona, una distancia, etc., siempre recurrimos a números redondos y, como regla, decimos «unos 200 metros», «una persona de unos 50 años», etc.

Es más fácil memorizar los números redondos que los demás; es más simple operar y realizar las operaciones matemáticas con ellos. Por ejemplo, para nadie resulta difícil multiplicar mentalmente 100 por 200; pero si se trata de multiplicar dos números no redondos de tres dígitos, digamos 147 y 343, eso no está al alcance de cualquiera sin recurrir al lápiz y al papel.

Al hablar de los números redondos, no nos damos cuenta, en general, que la división de los números en redondos y no redondos es convencional por su esencia y que un mismo número resulta redondo o no según el sistema de representación de los números o, como suele decirse, según el sistema de numeración que empleamos.

Para analizar esta cuestión veamos, ante todo, qué representa en sí el habitual sistema decimal de numeración que usamos. En este sistema todo número entero positivo se representa como la suma de unidades, decenas, centenas, etc., o sea, como la suma de diferentes potencias del número 10 con coeficientes cuyo valor va del 0 al 9 inclusive. Por ejemplo, la denotación

2548

significa que el número considerado contiene 8 unidades, 4 decenas, 5 centenas y 2 millares, o sea, 2548 es la abreviatura de la expresión

2*10 3 + 5*10 2 + 4*10 1 + 8*10 0 .

Sin embargo, con no menos éxito podríamos representar todo número como combinación de potencias de otro número entero cualquiera (a excepción del 1) que no sea el número 10; por ejemplo, el número 7.

En este sistema, llamado sistema septenario de numeración o sistema de numeración de base 7, contaríamos desde el o hasta el 6 corrientemente, pero consideraríamos el número 7 como unidad del orden de unidades siguientes. Es natural representarlo en nuestro nuevo sistema septenario por el símbolo

10

(unidad del segundo orden). Para no confundir esta denotación y el número decimal 10, le agregaremos el subíndice, o sea, en lugar del 7 escribiremos definitivamente

(10) 7

Las unidades de los órdenes sucesivos son los números 7 2 , 7 3 , etc. Lo natural es representarlas así

(100) 7 , (1000) 7 , etc.

Todo número entero puede ser obtenido como combinación de las potencias del número 7, es decir, puede ser representado en la forma

a k *7 k + a k-1 *7 k-1 + a k-2 *7 k-2 +...+ a 1 *7 + a 0

donde cada uno de los coeficientes a 0 , a 1 ... a k puede tomar cualquier valor desde el 0 hasta el 6. Igual que en el caso del sistema decimal, lo natural para representar los números en el sistema de base 7 es omitir sus potencias escribiendo el número en la forma

(a k a k-1 ... a 1 a 0 ) 7

empleando de nuevo el subíndice para subrayar que en el sistema de numeración utilizado se ha tomado por base precisamente el número 7.

Veamos un ejemplo. El número decimal 2548 puede ser representado en la forma

1*7 4 + 0*7 3 + 3*7 2 +0*7 1 + 0

o sea, según hemos convenido, en la forma

(10300) 7

Por lo tanto,

(2548) 10 = (10300) 7

Prestemos atención a que en este sistema septenario serán redondos los números que no lo son en el sistema decimal. Por ejemplo,

(147) 10 = (300) 7 y (343) 10 = (1000) 7

(ya que 147 = 3 * 7 2 y 343 = 7 3 ); al mismo tiempo tenemos

(100) 10 = (202) 7 y (500) 10 = (1313) 7 , etc.

Por eso, en el sistema septenario resulta más fácil multiplicar mentalmente (147) 10 por (343) 10 que (100) 10 por (200) 10 . Si usásemos el sistema septenario, consideraríamos la edad de 49 años (y no de 50) una fecha redonda celebrándola como un aniversario, diríamos «unos 98 metros» o «unos 196 metros» al estimar a ojo las distancias (porque (98) 10 = = (200) 7 y (196) 10 = (400) 7 son números redondos en el sistema septenario), contaríamos los objetos por septenas (y no por decenas), etc. En una palabra, si fuese comúnmente aceptado el sistema septenario, a nadie sorprendería la frase con la que hemos comenzado nuestra exposición.

Sin embargo, el sistema septenario no tiene la menor difusión y no puede competir de ninguna forma con el sistema decimal. ¿Por qué razón?

ORÍGENES DEL SISTEMA DECIMAL DE NUMERACIÓN

¿Por qué desempeña un papel tan privilegiado precisamente el número 10? Una persona ajena a estas cuestiones contestaría quizá sin vacilar que se trata sencillamente de que el número 10 es redondo y resulta cómodo multiplicar por él cualquier número, así como contar por decenas, centenares, etc. Hemos visto, sin embargo, que la situación es precisamente la opuesta: el número 10 es redondo debido a que se toma por base del sistema de numeración. Si pasamos a otro sistema de numeración, digamos septenario (en el que este número se representa como (13) 7 ), dejará inmediatamente de ser redondo.

Las razones por las cuales precisamente el sistema decimal ha sido universalmente aceptado no son,

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