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Capitalización compuesta

Es la ley financiera según la cual los intereses producidos se añaden al capital y vuelven a producir nuevos intereses hasta finalizar la operación financiera.

Los elementos que intervienen:

– Co: capital inicial.

– n: duración.

– i: tipo de interés anual.

– Is: intereses del año s. I = Cs1 ∙ i

– IT: interés total. IT

– Cn: capital final o montante. Cn = Co + IT

– Es la ley financiera según la cual los intereses producidos se añaden al capital y vuelven a producir nuevos intereses hasta finalizar la operación financiera.

– Los elementos que intervienen:

– Co: capital inicial.

– n: duración.

– i: tipo de interés anual.

– Is: intereses del año s. I = Cs1 ∙ i

– IT: interés total. IT

– Cn: capital final o montante. Cn = Co + IT

DESCRIPCIÓN DE LA OPERACIÓN

El capital final (montante) (Cn) se va formando por la acumulación al capital inicial (C0) de los intereses que periódicamente se van generando y que, en este caso, se van acumulando al mismo durante el tiempo que dure la operación (n), pudiéndose disponer de ellos al final junto con el capital inicialmente invertido.

CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN

Los intereses son productivos, lo que significa que:

• A medida que se generan se acumulan al capital inicial para producir nuevos intereses en los períodos siguientes.

• Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital existente al inicio de dicho período.

Gráficamente para una operación de tres períodos:

DESARROLLO DE LA OPERACIÓN

El capital al final de cada período es el resultado de añadir al capital existente al inicio del mismo los intereses generados durante dicho período. De esta forma, la evolución del montante conseguido en cada momento es el siguiente:

Momento 0: C0

Momento 1: C1 = C0 + I1 = C0 + C0 x i = C0 x (1 + i)

Momento 2: C2 = C1 + I2 = C1 + C1 x i = C1 x (1 + i) =

= C0 x (1 + i) x (1 + i) = C0 x (1 + i)2

Momento 3: C3 = C2 + I3 = C2 + C2 x i = C2 x (1 + i) =

= C0 x (1 + i)2 x (1 + i) = C0 x (1 + i)3

…

Momento n:

Cn = C0 x (1 + i)n

Expresión que permite calcular el capital final o montante (Cn) en régimen de compuesta, conocidos el capital inicial (C0), el tipo de interés (i) y la duración (n) de la operación.

Expresión aplicable cuando el tipo de interés de la operación no varía. En caso contrario habrá que trabajar con el tipo vigente en cada período.

A partir de la expresión anterior (denominada fórmula fundamental de la capitalización compuesta) además de calcular montantes, podremos, conocidos tres datos cualesquiera, despejar el cuarto restante.

EJEMPLO 1

Calcular el montante obtenido al invertir 200 euros al 5% anual durante 10 años en régimen de capitalización compuesta.

C10 = 200 x (1 + 0,05 )10 = 325,78 €

Si se hubiese calculado en simple:

C10 = 200 x (1 + 0,05 x 10) = 300 €

La diferencia entre los dos montantes (25,78 euros) son los intereses producidos por los intereses generados y acumulados hasta el final.

CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL

Partiendo de la fórmula de cálculo del capital final o montante y conocidos éste, la duración de la operación y el tanto de interés, bastará con despejar de la misma:

Cn = C0 x (1 + i)n

de donde se despeja C0:

EJEMPLO 2

¿Cuánto deberé invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 años de 1.500 euros para comprarme un coche, si me aseguran un 6% de interés anual compuesto para ese plazo?

C0 = 1.500

-----------------

(1 + 0,06)2 = 1.334,99 €

CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES

Conocidos los capitales inicial y final, se obtendrá por diferencia entre ambos:

In = Cn – C0

EJEMPLO 3

¿Qué intereses producirán 300 euros invertidos 4 años al 7% compuesto anual?

300 I4?

C4 = 300 x (1 + 0,07)4 = 393,24 €

In = 393,24 – 300 = 93,24 €

CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS

Si se conoce el resto de elementos de la operación: capital inicial, capital final y duración, basta con tener en cuenta la fórmula general de la capitalización compuesta y despejar la variable desconocida.

Cn

...