Temáticas Revisadas: Unidad 3 La Derivada, .

INTRODUCCIÓN

Buscamos desarrollar esta actividad con los elementos basados en las guías del curso, aprovechando las diversas ayudas que nos está ofreciendo para aprender fácilmente el curso de cálculo diferencial y con los elementos que poseemos para lograr un aprendizaje continuo y las prácticas de cómo se debe hacer.

En la primera etapa de este proyecto se busca realizar un trabajo a conciencia donde conozcamos como se debe realizar las operaciones de las diferentes sucesiones a realizar.

De igual manera introyectar los temas relacionados con el curso de Cálculo Diferencial, su importancia ante la sociedad y el ámbito laboral y como deberíamos aplicarlo de ser necesario, ante alguna situación que lo requiera.

1) Hallar la pendiente de la recta tangente a la curva:

y=3x^2-1/3 para x=3

Respuesta:

y=3x^2-1/3

dy/dx= d/(dx ) [〖3x〗^2-1/3]

La derivada de la función es igual a la diferencia de las derivadas

dy/dx=d/(dx ) (〖3x〗^2 )-d/(dx ) (1/3)

La derivada de una potencia es igual al producto del exponente por la potencia disminuida en un grado por la derivada de la función base, es éste caso 1; así mismo la derivada de una constante es cero.

dy/dx=6x

Como x = 3, sustituyendo la pendiente es:

dy/dx (3)=6*3

dy/dx (3)=18

Es decir, que la pendiente de la recta tangente a la curva es:

m=18

2) Halla la pendiente de la recta tangente a la curva:

y=(sen (4x))/2 cuando x=π/2

Respuesta:

Definiendo

u=4x

y=f(u)=senu

Aplicando la regla de la cadena:

dy/dx=dy/du*du/dx

Las derivadas respectivas son:

dy/du=cosu

du/dx=4

Agrupando, se obtiene:

dy/dx=1/2 [(cosu)*4]

dy/dx=2cos(4x)

Así, al sustituir x = π/2 tendremos que la pendiente de la recta tangente a la curva es:

dy/dx=2cos(4x)

dy/dx (π/2)=2cos[4*π/2]

dy/dx (π/2)=2cos(2π)

dy/dx (π/2)=2

3) Si f(x)=(4-4x+x^2 )^(1/2) halle el valor de f'(-1)

Respuesta:

dy/dx=dy/du.du/dx

Definiendo

u=4-4x+x^2

y=f(u)=u^(1⁄2)

Las derivadas respectivas son:

dy/du=1/2 u^((-1)⁄2)

du/dx=-4+2x

Agrupando, se obtiene:

dy/dx=1/(2√u)*-4+2x

Reemplazando u=4-4x+x^2 y factorizando 2x-4=2(x-2)

dy/dx=2(x-2))/(2√(4-4x+x^2 ))

dy/dx=(x-2)/√(4-4x+x^2 )

Evaluamos cuando x = -1

dy/dx (-1)=(-1-2)/√(4-4 (-1)+(-1)^2 )

dy/dx (-1)=(-3)/√(4+4+1)

dy/dx (-1)=(-3)/3

dy/dx (-1)=-1

4) Si h(x)=√x/x halle el valor de h''(1)

Respuesta:

Derivamos la función dos veces:

h(x)=√x/x=x^(1⁄2)/x

dh/dx=-1/(2x^(3⁄2) )

(d^2 h)/〖dx〗^2 =3/(4x^(5⁄2) )

Reemplazando x = 1 en la segunda derivada, obtenemos:

(d^2 h)/〖dx〗^2 (1)=3/(4(1)^(5⁄2) )

(d^2 h)/〖dx〗^2 (1)=3/(4(1)^(5⁄2) )

(d^2 h)/〖dx〗^2 (1)=3/4

Hallar las derivadas de las siguientes funciones:

5) f(x)=〖sen〗^2 x-sen(x)^2

Respuesta:

Para obtener la derivada de la función, separamos sus términos y los derivamos por separado:

f(x)=〖sen〗^2 x-sen(x)^2

f'(x)=d/dx (〖sen〗^2 x)-d/dx (sen(x)^2 )

Usamos las siguientes reglas de la cadena:

d/dx (sen^2 x)=(du^2)/du du/dx,donde u=sen(x) y (du^2)/du=2u

d/dx (sen(x)^2 )=dsen(u)/du du/dx,donde u=x^2 y dsen(u)/du=cos(u)

Con las reglas definidas anteriormente obtenemos que la derivada de la función es:

f'(x)=2sen(x)(d/dx sen(x) )-cos(x^2 )(d/dx x^2 )

f'(x)=2sen(x)cos(x)-(2x)cos(x^2 )

f'(x)=sen(2x)-(2x)cos(x^2 )

6) f(x)=x^2+√x+1/x

Respuesta:

Para obtener la derivada de la función, separamos sus términos y los derivamos por separado:

f(x)=x^2+√x+1/x

f'(x)=d/dx (x^2 )+d/dx (x^(1⁄2) )+d/dx (1/x)

f^' (x)=2x+1/2 (x^((-1)⁄2) )-1/x^2

f^' (x)=2x+1/(2√x)-1/x^2

7) f(x)=(Ln2x^2)/(Ln2x^4 )

Respuesta:

Usamos la regla de cociente,

d/dx (u/v)=(v du/dx-u dv/dx)/v^2

Donde,

u=Ln(2x^2 )

v=Ln(2x^4 )

d/dx (u/v)=(Ln(2x^4 ) d/dx [Ln(2x^2 ) ]-Ln(2x^2 ) d/dx [Ln(2x^4 ) ])/[Ln(2x^4 ) ]^2

Usamos la regla de la cadena,

d/dx [Ln(2x^4 ) ]=dLn(u)/du du/dx,donde u=2x^4 y dLn(u)/du=1/u

d/dx (u/v)=(Ln(2x^4 ) d/dx [Ln(2x^2 ) ]-Ln(2x^2 ) ( d/dx (2x^4 ))/(2x^4 ))/[Ln(2x^4 ) ]^2

La derivada de:

2x^4=8x^3

Por ello se tiene,

d/dx (u/v)=(Ln(2x^4 ) d/dx [Ln(2x^2 ) ]-(4x^3 )Ln(2x^2 )/x^4 )/[Ln(2x^4 ) ]^2

Usamos la regla de la cadena,

d/dx [Ln(2x^2 ) ]=dLn(u)/du du/dx,donde u=2x^2 y dLn(u)/du=1/u

d/dx (u/v)=(Ln(2x^4 ) ( d/dx (2x^2 ))/(2x^2 )-(4)Ln(2x^2 )/x)/[Ln(2x^4 ) ]^2

La derivada de:

2x^2=4x

Por ello se tiene,

d/dx (u/v)=((2x)Ln(2x^4 )/x^2 -(4)Ln(2x^2 )/x)/[Ln(2x^4 ) ]^2

Finalmente,

d/dx (u/v)=((2)Ln(2x^4 )-(4)Ln(2x^2 ))/〖x[Ln(2x^4 ) ]〗^2

Por lo tanto, la derivada de la función es:

f'(x)=((2)Ln(2x^4

...