Teoria De La Probabilidad

Teoría de la probabilidad

Inferencia estadística: procedimiento para seleccionar una muestra de datos y establecer inferencias en torno al conjunto original de datos del que se ha extraído una muestra.

¿Qué entendemos por probabilidad?

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El cálculo de probabilidades se refiere a las deducciones matemáticas obtenidas de los axiomas básicos de la probabilidad.

Conjuntos

Esta teoría fue desarrollada por Georg Cantor (1874-1918) se utilizaba en las distintas ramas de la matemática, tales como la teoría de la probabilidad, el cálculo infinitesimal y la geometría.

Un conjunto

Es un grupo de objetos dentro de un todo definido y bien diferenciado: por ejemplo, un grupo de estudiantes, un juego de cartas, las cuentas de un collar, etc.

Representemos un conjunto por S y llamemos elementos a los objetos. Entonces un elemento a esta relacionado con el conjunto como:

a es un elemento de S: a ∈ S

a no es un elemento de S: a ∉ S

Por ejemplo el conjunto S pueden ser tres números, 1, 2 y 3, que son los elementos del conjunto. Para indicar que ellos constituyen un conjunto se utilizan llaves {1, 2,3}. Luego, para el elemento 2, se escribe,

2 ∈ {1, 2,3}

Los elementos deben ser distintos. Entonces 1, 2,3 es un conjunto {1, 2,3} en el que los elementos repetidos no se escriben. El orden de los elementos no interesa por el momento.

Digamos que {2} es un conjunto de 1 elemento: el 2. Un conjunto sin elementos se denomina conjunto nulo o conjunto vacío. Y se presenta por Ø.

Si todo elemento de S_1 es un subconjunto de S. por ejemplo, sea S = {1,2,3}. Entonces, los subconjuntos posibles serán:

Ø, {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1, 2,3}

Un subconjunto se simboliza por

S_1 ⊆ S

Cuando S_1 ⊂ S , es decir, cuando S contiene al menos un elemento que no esta en S_1, S_1se denomina subconjunto propio de S.

Existen 2^3 = 8 subconjuntos en un conjunto de 3 elemento. Habrá 2^n subconjuntos de un conjunto de n elementos.

Operaciones con subconjuntos

Sea S_1= {a,b,c,2} y S_2 = {1,2,3}. Entonces la unión de S_1y S_2 es el conjunto S:

S= S_1 ∪ S_2 = {a,b,c,1,2,3}

Este es el conjunto que consta de todos los elementos que pertenecen a S_1 o a S_2 o a ambos.

La intersección de S_1 y S_2 es el conjunto de S:

S= S_1⋂ S_2 = {2}

Es el conjunto de elementos que pertenecen a ambos S_1 y S_2. Si el conjunto S_3 es a,b,c

Entonces, S_2⋂S_3 = 0

dojngejgnrtgkkekn

Es decir, la intersección de los conjuntos que no están superpuestos o disjuntos, es el conjunro nulo. En este caso, en lugar de usar el símbolo ∪, a veces se utiliza el símbolo + para la unión de conjuntos disjuntos y también se emplea la palabra “suma” en lugar de “unión”.

Sea,

S=S_1 ∪ S_2= {a, b, c, 1, 2, 3}

En general, el conjunto S de todos los puntos que se estudian se denomina conjunto universal para el referido estudio o simplemente universo. Con ferecuencia el universo no se especifica explícitamente.

Sea S_4 = {a, b, 1, 2} un subconjunto de S. el complemento de S_4 , con respecto al universo S es el conjunto

S_4 ={c,3}

Es decir, son aquellos elementos del universo {a,b,c,1,2,3} que no tienen elementos de S = {a,b,1,2}

La diferencia de conjuntos S_1 y S_2 es el conjunto S:

S= S_1- S_2 = {a,b,c,2} – {1,2,3} = {a,b,c}

Asi, a,b,c son elementos de S_1 pero no son elementos de S_2, mienteas que 2 es un elemento de S_1 y S_2. Para S_2 - S_1 tenemos

S^' = S_2 - S_1 = {1,2,3} – {a,b,c,2} = {1,3}

Sdjf3iurfhueifjref

Espacio muestral

Sea S un conjunto de digamos, tres colores e_1= rojo e_2= blanco y e_3= azul. Los elementos e_i se llamaran puntos de la muestra o simplemente puntos. La cantidad de puntos de 1 muestra puede ser infinita.

El conjunto S que es la suma de todos los puntos de la muestra se llama espacio muestral.

El espacio muestral puede representarse gráficamente como un circulo o como una línea

Osjcucincece

Recta o tomar cualquier otra forma. Sin embargo con el fin de presentar la teoría de la probabilidad y la estadística, utilizaremos principalmente los espacios muestrales en forma de líneas rectas o sea productos cartesianos.

Productos cartesianos de los espacios muestrales.

Cuando tenemos un conjunto de dos elementos {a, b} el orden del elemento no se tiene en cuenta.

Esto es, {a, b} y {b, a} se dice que son equivalentes.

Ahora agrupemos juntos dos elementos en un orden definido y representémoslo por

Esto se llama un par ordenado de elementos. Los dos elementos no necesitan ser distintos. Esto es, (a, a) es un par ordenado, mientras que el conjunto {a, a} resulta en realidad el conjunto {a} y como puede verse (a, b) ≠ (b, a) si a ≠ b.

Esto puede describirse mejor utilizando un gráfico.

La siguiente figura muestra tres puntos a, b, c, en el eje vertical y horizontal. El par ordenado (a, b) está dado por el punto M, mientras el par ordenado (b, a) está representado por el punto N.

djfeiguthugueifierjie

Pueden considerarse con dos espacios muestrales diferentes S_1 y S_2 en donde los elementos de los espacios muestrales S_1y S_2 estan ordenados respectivamente.

Y además el espacio bidimensional que hemos creado gráficamente puede considerarse como un nuevo espacio muestral generado a partir de S_1 y S_2. Vemos que existen 3 x 3 = 9 pares ordenados en este nuevo espacio bidimensional. Cada uno de los pares ordenados resulta un elemento o punto de la muestra en este nuevo espacio. Este nuevo espacio se simboiza como,

S_1 X S_2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c) }. Para simplificar la notación llamemos a los puntos del eje horizontal x y los del eje vertical y. entonces podemos escribir:

S_1 X S_2 = {(x, y) : x∈S_1

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