Teoría de probabilidad

Teoría de probabilidad

ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS.

El ESPACIO MUESTRAL es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. En otras palabras, es el conjunto que contiene todas las posibles "muestras" que podríamos obtener al realizar un experimento.

Ejemplo:

Supongamos que lanzamos un dado justo de seis caras. El espacio muestral en este caso sería el conjunto de todos los posibles resultados, que son los números del 1 al 6:

Espacio Muestral (E) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Eventos:

UN EVENTO es un subconjunto del espacio muestral, es decir, es un conjunto formado por uno o más resultados posibles del experimento. Los eventos son eventos que nos interesan o que estamos estudiando en un experimento aleatorio.

Ejemplo:

Siguiendo con el ejemplo del lanzamiento de un dado, podemos definir varios eventos:

Evento A: Obtener un número par.

Evento A = {2, 4, 6}

Evento B: Obtener un número impar.

Evento B = {1, 3, 5}

Evento C: Obtener un 3 o un 4.

Evento C = {3, 4}

Evento D: Obtener un número mayor que 4.

Evento D = {5, 6}

LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS.

LA LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS es un concepto fundamental en probabilidad y estadística que describe el comportamiento de la media de una gran cantidad de observaciones o muestras de una variable aleatoria. Básicamente, esta ley establece que a medida que se aumenta el tamaño de la muestra o el número de experimentos, la media de esas observaciones tiende a acercarse al valor esperado de la variable aleatoria.

Ejemplo:

Supongamos que tienes un dado justo de seis caras y quieres estudiar la Ley de los Grandes Números. Tu objetivo es calcular el promedio de los resultados de lanzar el dado muchas veces y ver cómo se comporta a medida que aumenta el número de lanzamientos.

Pasos:

1. Lanzar el dado: Comienzas lanzando el dado una vez y registrando el resultado. Supongamos que obtienes un 3.
2. Calcular el promedio inicial: En este punto, tu promedio es simplemente el resultado obtenido en el paso 1, que es 3.
3. Lanzar el dado nuevamente: Lanzas el dado una segunda vez y registras el resultado. Supongamos que esta vez obtienes un 5.
4. Actualizar el promedio: Para calcular el nuevo promedio, sumas los resultados de ambos lanzamientos (3 + 5) y los divides por el número de lanzamientos (2). El nuevo promedio es 4.
5. Repetir el proceso: Continúas lanzando el dado muchas veces y calculando el promedio después de cada lanzamiento. Por ejemplo, en los siguientes lanzamientos obtienes 2, 6, 4, 1, 3, 5, 2, 6, 4, 1, y así sucesivamente.

A medida que sigues lanzando el dado muchas veces, notarás que el promedio fluctúa en los primeros lanzamientos, pero a medida que aumenta el número de lanzamientos, es más probable que el promedio se acerque al valor esperado teórico del dado justo, que es 3.5. Esto es un ejemplo práctico de la Ley de los Grandes Números.

TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE.

El Teorema Central del Límite (TCL) es uno de los conceptos más importantes en estadísticas y probabilidad. Este teorema establece que, cuando se toma una muestra suficientemente grande de una población con cualquier distribución de probabilidad, la distribución de las medias de esas muestras se aproximará a una distribución normal (gaussiana), independientemente de la forma de la distribución original.

En otras palabras, el TCL nos dice que, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución de las medias muestrales se vuelve cada vez más similar a una distribución normal, sin importar si la población original es normal o no.

Aquí hay una definición más formal del Teorema Central del Límite:

Supongamos que tenemos una población con una media (μ) y una desviación estándar (σ), y tomamos muestras aleatorias de tamaño n de esta población. A medida que n tiende hacia el infinito, la distribución de las medias muéstrales se acercará a una distribución normal con una media igual a μ y una desviación estándar igual a σ/√n.

Ejemplo:

Imagina que tienes una máquina que produce tornillos, y sabes que el peso de un tornillo sigue una distribución de probabilidad con una media de 10 gramos y una desviación estándar de 2 gramos. Quieres saber cuál es la probabilidad de que, al tomar una muestra aleatoria de 100 tornillos, el peso promedio de esa muestra se encuentre en un rango específico.

Según el Teorema Central del Límite, podemos calcular la media y la desviación estándar de las medias muestrales de 100 tornillos. La media de las medias muestrales será igual a la media original de 10 gramos, y la desviación estándar de las medias muestrales será σ/√n, es decir, 2/√100 = 0.2 gramos.

Distribuciones de probabilidad (por ejemplo, binomial, normal, exponencial).

LAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD son modelos matemáticos que describen cómo se distribuyen los valores posibles de una variable aleatoria en una población o en una muestra. Aquí tienes definiciones y ejemplos de tres distribuciones de probabilidad comunes: la distribución binomial, la distribución normal y la distribución exponencial.

Distribución Binomial:

Definición: LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL describe el número de éxitos en un número fijo de ensayos independientes, donde cada ensayo tiene dos resultados posibles: éxito o fracaso. Estos ensayos deben ser mutuamente excluyentes y tener la misma probabilidad de éxito.

Ejemplo: Supongamos que lanzas una moneda justa (donde la probabilidad de obtener cara es 0.5) cinco veces y quieres saber cuál es la probabilidad de obtener exactamente tres caras en esos cinco lanzamientos. En este caso, la distribución binomial se aplica, y puedes calcular la probabilidad utilizando la fórmula binomial.

Distribución Normal (o Gaussiana):

Definición: LA DISTRIBUCIÓN NORMAL es una de las distribuciones más importantes en estadísticas. Tiene una forma de campana y está completamente definida por dos parámetros: la media (μ) y la desviación estándar (σ). Es utilizada para modelar una amplia variedad de fenómenos naturales y se caracteriza por ser simétrica y tener una media y una mediana iguales.

Ejemplo: La altura de las personas en una población sigue aproximadamente una distribución normal. Supongamos que la altura promedio en una población es de 170 cm con una desviación estándar de 10 cm. Puedes usar la distribución normal para calcular la probabilidad de que una persona al azar tenga una altura entre, por ejemplo, 160 cm y 180 cm.

...