Teoria de probabilidad

TEORIA DE PROBABILIDAD

JAIME POLANIA PERDOMO

Estadístico U.N

Especialista en Sistemas U.N.

Magister en Tecnologías TEC Monterrey, México

Universidad Surcolombiana

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Programa de Matemáticas Aplicada

Neiva, Agosto de 2023

PRESENTACIÓN

La estadística inferencial se apoya en los principios de la probabilidad para permitir realizar estimaciones basadas en muestras hacia las características de una población.

De por si es muy complejo investigar a las poblaciones enteras, por lo que se espera que las muestras hayan sido bien definidas, calculadas y seleccionadas de forma tal que sean una representación de la población de la que se pretende investigar, sobre todo porque la idea es que se generalice los resultados obtenidos de las muestras a toda la población por lo que se debe ser muy cuidadoso al calcular y seleccionar la muestra. 

Luego, las probabilidades se ocupan de medir de manera cuantitativa la posibilidad de que un evento o suceso se presenta en un proceso aleatorio.

Es decir, se apoya en el análisis combinatorio, identificando la relación entre sucesos posibles de ocurrir y el total de sucesos posibles.

Para aplicar estos métodos de inferencia estadística se requiere del manejo conceptual de algunos términos, que se definen a continuación

DEFINICIONES BASICAS DE CONJUNTOS

1. Conjunto: Es una recolección de objetos, donde los objetos se llaman elementos del conjunto, por ejemplo, se tienen los siguientes conjuntos:

A:   temperatura (en grados) promedio en Neiva en un día cualquiera.

A:   30, 31, 32, .......40

B: Número de materias perdidas en la carrera.

B: 1, 2, 3, ......n

2. Conjunto Unitario: Compuesto por un solo elemento.

3. Conjunto Vacío: Es el que no tiene elementos, se designa por Φ .

4. Si un conjunto A contiene uno o más elementos del conjunto B, y si todo elemento de A es un elemento de B, entonces se dice que A es un subconjunto de B.

5. La unión de dos conjuntos A y B,  consiste de todos los elementos que pertenecen a A o a B, o tanto a A como a B. Se usa como símbolo U. por ejemplo, el número de materias perdidas en el semestre anterior, donde A: 0, 1, 2, 3,  y el número de materias perdidas en la carrera, designadas por B: 2,3, 4,5,6,7 luego la unión de los dos conjuntos será:

A u B: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7 .

Se puede ilustrar mediante el siguiente diagrama:

[pic 1]

6. La intersección de dos conjuntos A y B, consiste de todos los elementos que está tanto en A como en B, se designa como n.  Tomando el ejemplo anterior, la intersección de los conjuntos A y B, será: A Ո B: 5, 10 : {todas las hectáreas cultivadas en arroz y en producción}.

7. Si el conjunto de A es un subconjunto del conjunto universal, (U) el complemento de A es otro subconjunto del universal y consiste de los elementos del universal (U), que no están en A.  El diagrama será:

[pic 2]

EXPERIMENTO ALEATORIO

Es la repetición de pruebas o ensayos, realizados bajo las mismas condiciones, donde se pretende construir un modelo que mida de alguna manera la observación de un fenómeno. El resultado de un experimento no se puede predecir de antemano.

Por ejemplo, se tienen los siguientes experimentos:

E1: Lanzamiento de una moneda una vez

E2: Cantidad de basura producida por familia en Neiva en un período (en Kg).

E3: Precipitación caída en una región (en m.m).

E4: Seleccionar un estudiante de un grupo.

E5: Lanzamiento de un dado una vez.

E6. Nota de un estudiante en el parcial1 de Toería

ESPACIO MUESTRAL

Corresponde al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento, en donde cada uno de sus resultados se llama punto muestral.  Por ejemplo: Los espacios muestrales de los experimentos definidos anteriormente:

S1: { C, S}. Dos resultados posibles. Contable o Finito

S2: {1kg, 2,5, 3,7, 4,0,.......}.  Infinitos resultados o Incontable

S3: {500, 1.000, 1.250, 1.480....}. Infinitos resultados

S4: {e1, e2,......e12}. 12 resultados posibles. Contable o finito

S5: {1, 2, ........,6}. seis resultados posibles. Contable

S6:{0.0, ..1.0, 2.0,………5.0}. Infinito

Cada resultado posible de un S se llama un punto muestral

SUCESO / EVENTO

Es un subconjunto del espacio muestral o un subconjunto de resultados posible. Generalmente se denota por A, B, C, .... etc. Algunos sucesos asociados a los espacios muestrales anteriores:

A1:   {caiga sello} = {S}. un resultado posible

A2:   {100 Kg}

A3:   {1.250 m.m}

A4:   {e5}

A5:  {caiga el número 4}

A6: {3.0}

A es un subconjunto de un S asociado a un E

AS Asociado a un E[pic 3]

ANALISIS COMBINATORIO

El número de puntos muestrales en espacios muestrales en algunos casos no es muy grande y así la enumeración o cuenta directa es fácil de realizar; pero hay sucesos complejos donde sus resultados son tediosos para enumerarlos y para facilitar esto se acude a los principios básicos del análisis combinatorio.  Se definen 3 procedimientos:

1.        Principio de multiplicación (diagrama de árbol)

2.        Permutaciones

3.        Combinaciones

1. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN

Se tiene un primer suceso que puede presentarse de n maneras diferentes y un segundo suceso que puede realizarse de  formas diferentes, entonces el total de formas diferentes en que ambos sucesos se pueden realizar será de  formas diferentes.[pic 4][pic 5]

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