Técnicas De Conteo

REGLA DEL PRODUCTO.

Uno de los problemas que los estadísticos deben considerar e intentar evaluar es el elemento de aleatoriedad que se asocia con la ocurrencia de ciertos eventos cuando se lleva a cabo un experimento. Estos problemas pertenecen al campo de la probabilidad. En muchos casos debe tenerse en la capacidad de resolver un problema de probabilidad mediante el conteo del número de puntos en el espacio muestral sin realmente anotar cada uno de sus elementos. Frecuentemente de hace referencia al principio fundamental del conteo llamado también regla del producto, la cual se enuncia como sigue.

• Teorema 1. Si una operación puede realizarse de n1 formas, y si por cada una de éstas una segunda operación puede llevarse a cabo de n2 formas, entonces las dos operaciones pueden realizarse juntas en n1n2 formas.

Ejemplo: Un urbanista de una nueva subdivisión ofrece a los interesados en la compra de una casa la probabilidad de seleccionar el estilo de la fachada entre Tudor, rústico, colonial y tradicional, y una sola planta, dos pisos o desniveles. ¿De cuántas maneras diferentes puede un comprador ordenar una de estas casas?

Solución:

n1 = 4 y n2 = 3, un comprador puede escoger entre n1n2=(4)*(3) = 12 casas posibles.

Es posible ampliar la regla del producto para cualquier número de operaciones.

• Teorema 2. Si una operación puede realizarse de n1 formas, y para cada una de éstas puede efectuar una segunda en n2 formas, y para cada una de las dos primeras se puede efectuar una tercera en n3 formas, y así sucesivamente, entonces la secuencia de k operaciones puede hacerse en n1n2 . . . nk formas.

Ejemplo: ¿Cuántos menús que consisten de sopa, emparedado, postre y un refresco existen si se puede seleccionar entre 4 sopas diferentes, 3 clases de emparedado, 5 postres y 4 refrescos?

Solución:

Dado que n1 = 4; n2 = 3; n3 = 5 y n4 = 4, hay

n1n2n3n4=(4)*(3)*(5)*(4) = 240 tipos de menús.

Ejemplo: ¿Cuántos números pares de tres dígitos pueden formarse con los dígitos 1, 2, 5, 6 y 9. si cada uno de ellos puede utilizarse sólo una vez?

Solución:

Cómo debe ser par, la cifra debe ser 2 ó 6, por lo tanto n1 = 2 para la posición de las unidades, de los cuales sólo se utiliza uno y por consiguiente nos queda n2 = 4 para la posición de las centenas y n3 = 3 para la posición de las decenas. Por lo tanto pueden formarse un total de (2)*(4)*(3) = 24 número pares de tres dígitos.

PERMUTACIONES.

Con frecuencia interesa un espacio muestral que contiene como elementos todos los posibles órdenes o arreglos de un grupo de objetos. Los diferentes arreglos se llaman permutaciones.

• Teorema 3. El número de permutaciones de n distintos objetos es n!.

• Teorema 4. El número de permutaciones de n objetos distintos, tomando r a la vez es:

...