Tecnicas De Conteo

Técnicas de conteo

¿Que son los métodos de conteo?

Son estrategias utilizadas para determinar el número de posibilidades diferentes que existen al realizar un experimento.

Entre los métodos de conteo encontraremos los más conocidos:

* Permutación

* Combinación

* Ordenamiento

Permutación

Consiste en multiplicar en todo momento cada dato que te pueda dar y sirve para hallar formulas generales que permitan calcular el número de permutaciones con y sin repetición. Si importa el orden.

Hay dos tipos de permutaciones:

* Se repite (con repetición, con reemplazo)

* No se repite (sin repetición, sin reemplazo)

Ejemplo sin repetición:

¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la palabra IMPUREZA?

Solución:

Puesto que tenemos 8 letras diferentes y las vamos a ordenar en diferentes formas, tendremos 8 posibilidades de escoger la primera letra para nuestro arreglo, una vez usada una, nos quedan 7 posibilidades de escoger una segunda letra, y una vez que hayamos usado todos, nos quedan 6, así sucesivamente hasta agotarlas, en total tenemos:

8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320

Combinación

Una combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos. En el caso de las combinaciones, lo importante es el número de agrupaciones diferentes de objetos que pueden incurrir sin importar su orden. Por lo tanto en las combinaciones se busca el número de subgrupos diferentes que pueden tomarse a partir de objetos si el orden de los objetos no es importante.

Cada uno de estos resultados se denomina combinación.

Por ejemplo:

Si se requiere formar un equipo de trabajo formado por dos personas seleccionadas de un grupo de 3 (A, B y C); si en el equipo hay dos funciones diferentes entonces sí importa el orden, los resultados serán permutaciones, por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones los resultados en ambos casos son los siguientes:

Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB

Combinaciones: AB, CA, BC

Combinaciones, es el número de formas de seleccionar “r” objetos de un grupo de “n” objetos sin importar el orden.

Ordenamiento

Un diagrama de árbol o método de Ordenamiento es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el número de elementos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción del diagrama de árbol.

El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.

Combinaciones y permutaciones

¿Qué diferencia hay?

Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:

"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.

"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.

Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:

Si el orden no importa, es una combinación.

Si el orden sí importa es una permutación.

1. Permutaciones con repetición

Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:

n × n × ... (r veces) = nr

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas

(Se puede repetir, el orden importa)

2. Permutaciones sin repetición

En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.

Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?

Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.

Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:

16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888, Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:

16 × 15 × 14 = 3360

Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.

¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función factorial"

Las técnicas de conteo permiten determinar el número de resultados de un experimento o el número de maneras en que se pueden organizar un número de elementos sin tener que contarlos.

Las técnicas de conteo son las siguientes:

1.- Regla de la multiplicación.

Cuando en un experimento o situación se tienen K intentos y en cada intento se tienen diferentes opciones posibles : n1, n2, n3…nk, el número de resultados posibles se determina mediante la multiplicación de las opciones.

Ejemplo: ¿De cuántas maneras diferentes se pueden combinar 4 camisas con 2 pantalones y 6 corbatas?

4x2x6= 48

Conclusión: multiplicamos todas las opciones de cada uno de los intentos.

2.- Factorial

La función factorial (símbolo: !) Para encontrar el factorial de un número se multiplica éste por todos los números enteros que hay antes de ese número hasta llegar a la unidad. Puede hacerse en orden ascendente o descendente.

Ejemplos:

• 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

• 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

• 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040

• 1! = 1

"4!" normalmente se pronuncia "4 factorial". También se puede decir "factorial de 4"

Calculando desde el valor anterior

Es fácil calcular un factorial desde el valor anterior, solo debe multiplicarse por el número que sigue:

n n!

1 1 1 1

2 2 × 1 = 2 × 1! = 2

3 3 × 2 × 1 = 3 × 2! = 6

4 4 × 3 × 2 × 1 = 4 × 3! = 24

5 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × 4! = 120

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