Tecnicas De Conteo

2.1 Conjunto y tecnicas de conteo

Un conjunto es una coleccion bien definida de objetos a los cuales tambien llamamos los elementos de un conjunto.

A los conjuntos los identificamos con letras mayusculas y a los elementos con letras minusculas, encerrados en {}.

Los conjuntos se pueden describir de 2 formas:

1.- Metodo de la lista. consiste en enumerar a todos los elementos que pertenecen a dicho conjunto. ejemplo:

A={1,2,3,4,5,6} B={a,e,i,o,u}

2.- Metodo de la regla consiste en definir la caracteriztica comun para ser considerado un elemento. ejemplo.

A= x b= {x|x sea una letra vocal

Definición y notación de un conjunto

A los conjuntos se les representa con letras mayúsculas A, B, C, ... y a los elementos de los conjuntos se denotan con letra minúsculas a, b, c, ...En base a la cantidad de elementos que tenga un conjunto, estos se pueden clasificar en conjuntos

Ejemplo : Supongamos que Mexico es un conjunto, los elemento de ella son todos los estados.

Finitos e Infinitos. En el caso del ejemplo anterior Mexico es un conjunto finito ya que se pueden contar sus elementos.

Podemos definir de manera intuitiva a un conjunto, como una colección o listado de objetos con características bien definidas que lo hace pertenecer a un grupo determinado.

Para que exista un conjunto debe basarse en lo siguiente:

• La colección de elementos debe estar bien definida.

• Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez, generalmente, estos elementos deben ser diferentes, si uno de ellos se repite se contará sólo una vez.

• El orden en que se enumeran los elementos que carecen de importancia.

Una interpretación gráfica de la unión de A y B es la siguiente:

En la gráfica la región rayada corresponde a la unión de A y B. Se presentan los conjuntos dentro de un rectángulo que representa el conjunto referencial del cual se seleccionan los conjuntos A y B.

TIPOS DE CONJUNTOS

Conjunto finito: en este conjunto los elementos o miembros que los conforman pueden ser enumerados o contados. Por ejemplo, el agrupamiento de todas las letras del abecedario confirmaría un conjunto de esta clase.

Conjunto infinito: en estos conjuntos, los miembros que lo conforman no pueden ser enumerados ni contados. Un ejemplo de conjunto infinito sería todos los granos de arena del planeta.

Conjunto unitario: estos conjuntos están conformados por un solo miembro o elemento, por ejemplo, la letra A.

Conjunto vacío: estos conjuntos carecen de elementos o bien, estos son inexistentes, por ejemplo un unicornio, en el caso del elemento inexistente.

Conjunto referencial: a este conjunto también se la conoce como universal y se caracterizan por estar conformados por los miembros de todos los elementos que forman parte de la caracterización. Por ejemplo: el conjunto A esta compuesto de 1,3, 5, 7 y el B por 2, 4, 6. Mientras que el conjunto universal es 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Conjuntos disyuntivos: estos conjuntos no poseen ningún elemento o miembro que coincida. Esto también se lo puede expresar diciendo que la intersección entre los conjuntos disyuntivos es el conjunto vacío. Por ejemplo el grupo A contiene los elementos a, b, c, d mientras que el B e, f, g, h. Los conjuntos A y B entonces no tienen ningún elemento en común.

Conjuntos equivalentes: son aquellos conjuntos que poseen el mismo número cardinal, lo que significa que contienen la misma cantidad de elementos. Por ejemplo el conjunto A es 1, 2, 3, 4 y el B a, b, c, d, por tanto A y B son equivalentes.

Conjuntos iguales: esto se da cuando dos o más conjuntos contienen iguales elementos. Por ejemplo el conjunto A es 2, 4, 6, 8 y el B es 8, 6, 4, 2. Ambos conjuntos son iguales por que poseen los mismos elementos, sin importar su orden.

Conjuntos congruentes: aquí pertenecen aquellos conjuntos numéricos cuyos respectivos miembros se corresponden uno a uno de modo que la distancia entre ellos se conserve, por ejemplo: el conjunto A es: 2, 4, 6, 8, 10 mientras que B es 7, 9, 11, 13, 15. De esta manera, 10 y 15, 8 y 13, 6 y 11, 4 y 9, 2 y 7 mantienen entre sí una distancia de 5.

Conjuntos no congruentes: en estos conjuntos, en cambio, no se establece correspondencia alguna entre sus miembros, por lo que la distancia entre los elementos es inconstante. Por ejemplo, el conjunto A es 2, 4, 6, 8, 10 mientras que B es 4, 5, 6, 7, 8.

Conjuntos homogéneos: en estos conjuntos los elementos o miembros que los componen responden al mismo género o tipo. Por ejemplo el conjunto A que contiene los elementos 1, 5, 3, 7, 6, 8. Aquí todos sus elementos son números por lo que conforman un conjunto homogéneo.

Conjuntos heterogéneos: estos conjuntos están compuestos por elementos que corresponden a distintos tipos, géneros o clases, por ejemplo, el conjunto A es 2, j, perro, azul.

TECNICAS DE CONTEO

El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede n2 maneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a n1 x n2.

¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?

Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras distintas de repartir los tres premios.

n 10 x 9 x 8 = 720

¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras? No se admiten repeticiones.

26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000

n un número entero positivo, el producto n (n-1) (n-2)...3 x 2 x 1 se llama factorial de n.

El símbolo ! se lee factorial y es el producto resultante de todos los enteros positivos de 1 a n; es decir, sea

n5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Por definición 0! = 1

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