Tecnicas De Conteo

Técnicas de conteo.

A) CONCEPTO.

Suponga que se encuentra al final de una línea de ensamble final de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el número de productos que lo constituyen, de inmediato usted empezará a contar un producto tras otro y al final informará al supervisor que son, 48, 54 u otro número cualquiera. Ahora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente pregunta ¿cuántas muestras o grupos será posible formar con los productos del lote, si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellas?.

En el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo, pero cuando se le hace el segundo planteamiento, al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezará a tener dificultad para hacerlo, en casos como este es necesario hacer uso de las técnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestión (el número de muestras posibles a formar de ocho elementos), luego, ¿qué son las técnicas de conteo?

Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Ejemplos en los que definitivamente haremos uso de las técnicas de conteo serían:

-¿Cuántas comisiones pro limpieza del instituto se pueden formar si hay 150 alumnos que desean ayudar en esta tarea y se desea formar comisiones de ocho alumnos?

-¿Cuántas representaciones de alumnos pueden ser formadas a) si se desea que estas consten solo de alumnos de Ingeniería Química?, b) se desea que el presidente sea un químico?, c) se desea que el presidente y tesorero sean químicos? Para todos los casos, se desea que las representaciones consten de once alumnos.

-¿Cuántas maneras tiene una persona de seleccionar una lavadora, una batidora y dos licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras, 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadoras?

Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, las que a continuación se explicarán y hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado.

Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo, los que a continuación se definen y se hace uso de ellos.

Técnicas de conteo

Las técnicas de conteo para encontrar el numero de arreglos posibles de objetos en un conjunto o conjuntos son esenciales en el estudio de la probabilidad. Al contar los arreglos se puede enlistar o representar todos en forma ramificada es decir esta representación se hace en la forma de un árbol denominado diagrama de árbol.

Ej.- Un contador tiene dos sacos negro y beige y 4 camisas: celeste, café, blanca y azul de cuantas manera puede combinarse y representar con un diagrama de árbol.

Contador

Saco

Negro

Beige

2 x

Camisas

Celeste

Café

Blanco

Azul

Celeste

Café

Blanco

Azul

4 = Posibles arreglos:

Negro-celeste

Negro-café

Negro-blanco

Negro-azul

Beige-celeste

Beige-café

Beige-blanco

Beige-azul

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Principio Fundamental del Proceso de Contar

De la sección anterior se puede establecer una manera eficiente de contar considerando el principio de multiplicación, el cual llamaremos: Principio fundamental del proceso de contar quedando explícitamente de la siguiente manera: Si en una primera decisión se puede hacer de “n” formas diferentes y una segunda decisión en “m” formas diferentes entonces las dos decisiones se pueden hacer en “n” por “m” o sea “nm” formas diferentes en el orden dado.

Ej.- Cuantas palabras de 4 letras (sin significado) se puede formar con las letras de la palabra verónica, sin usar mas de una vez cada una de las letras,

8 x 7 x 6 x 5 = 1680

Ej.- Cuantos números de 3 dígitos se pueden formar con los dígitos 6,7,8,9 si :

a) no deben repetirse los dígitos 4 x 3 x 2 = 24

b) deben repetirse los dígitos. 4 x 4 x 4 = 64

Compruébalo

a)

678

679

687

689

697

698 768

769

786

789

796

798 867

869

876

879

896

897 967

968

976

978

986

987

b)

666

667

668

669

676

677

678

679

686

687

688

689

696

697

698

699 766

767

768

769

776

777

778

779

786

787

788

789

796

797

798

799 866

867

868

869

876

877

878

879

886

887

888

889

896

897

898

899 966

967

968

969

976

977

978

979

986

987

988

989

996

997

998

999

Ej.- cuántos números de cuatro dígitos de pueden formar con los dígitos del 0-9 si:

a) los dígitos pueden repetirse 9 x 10 x 10 x 10 = 9000

b) los dígitos no pueden repetirse 9 x 9 x 8 x 7 = 4536

c) el ultimo digito debe ser ocho y no pueden repetirse 8 x 8 x 7 x 1 = 448

Ej.- Cuántos juegos de placas para autos que contengan tres letras seguidas de tres dígitos utilizando para ello las 27 letras del alfabeto y los números del 0-9 si:

a) las letras y dígitos no deben repetirse

27 x 26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 12636000

b) las letras y dígitos pueden repetirse

27 x 27 x 27 x 10 x 10 x 10 = 19683000

c) debe iniciar con la letra R

1 x 26 x 25 x 10 x 10 x 10 = 650000

1 x 26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000

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