Tecnicas De Conteo

Técnicas de conteo.

Cuando en un experimento, el número de resultados posibles es pequeño, es relativamente facil de listar y contar todos los posibles resultados. Por Ejemplo; Al tirar un dado, hay seis posibles resultados.

Sin embargo, cuando hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades.

Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc.

Para facilitar el conteo utilizaremos algunas técnicas, tales como: Las técnica de la adición, la de la multiplicación, además de la permutación, y la combinación.

1.1 Principio aditivo.

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ….. y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de:

M+N+……W maneras o formas

1.2 Principio multiplicativo.

Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, hay m x n formas da hacer ambas cosa.

Utilizando una fórmula: Número total de arreglos = m x n

Esto puede ser extendido a más de 2 eventos, para 3 eventos, m, n, y o: Núm. total de arreglos = m x n x o

Ejemplo: Un vendedor de autos desea mostrar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta, auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar.

¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor?

Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número de tipos de rin).

Número total de arreglos = 3 x 2 = 6

1.3 Notación Factorial.

Para todo número natural n, se llama n factorial o factorial de n, al producto de todos los naturales desde 1 hasta n.

Que de un modo resumido, se puede expresar como:

Se define 0! = 1, para que la relación n! = n × (n − 1)! sea también válida para n = 1. Esta relación permite definir los factoriales por recursividad.

Por ejemplo, 5! = 5•4•3•2•1 = 120

Por definición el factorial de 0 es 1: 0!=1

1.4 Permutaciones.

La permutación es aplicada para encontrar el número posible de arreglos donde hay solo u grupo de objetos. Como ilustración analizaremos el siguiente problema: Tres componentes electrónicos - un transistor, un capacitor, y un diodo - serán ensamblados en una tablilla de una televisión. Los componentes pueden ser ensamblados en cualquier orden. ¿De cuantas diferentes maneras pueden ser ensamblados los tres componentes?

Las diferentes maneras de ensamblar los componentes son llamadas permutaciones, y son las siguientes:

T D C D T C C D T

T C D D C T C T D

Permutación: Todos los arreglos de r objetos seleccionados de n objetos posibles

La fórmula empleada para contar el número total de diferentes permutaciones es:

n P r = n!_____

(n – r )!

Donde:

nPr es el número de permutaciones posibles

n es el número total de objetos

r es el número de objetos utilizados en un mismo momento

n P r = ___n! = 3! = 3 x 2 =

...