Varianza Y Desviacion Estandar

INTRODUCCION

Como podemos observar, en el mundo de hoy necesitamos conocer con detalle un conjunto de datos, no basta con conocer solo las medidas de tendencia central, sino que necesitamos conocer también la desviación que representan los datos en su distribución respecto de la media aritmética de dicha distribución, con objeto de tener una visión de los mismos más acorde con la realidad a la hora de describirlos e interpretarlos para la toma de decisiones.

VARIANZA

La varianza es una medida de dispersión relativa a algún punto de referencia. Ese punto de referencia es la media aritmética de la distribución. Más específicamente, la varianza es una medida de que tan cerca, o que tan lejos están los diferentes valores de su propia media aritmética. Cuando más lejos están las Xi de su propia menos es la varianza. Y se define y expresa matemáticamente de la siguiente manera:

Dado un conjunto de observaciones, tales como X1, X2… Xn, la varianza denotada usualmente por la letra minúscula griega σ (sigma) elevada al cuadrado (σ²) y en otros casos S² según otros analistas, se define como: el cuadrado medio de las desviaciones con respecto a su media aritmética"

Ejemplo 1: Para comprender el concepto de las medidas de distribución vamos a suponer que el gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto varían los pesos de los empaques (en gramos), de uno de sus productos; por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos. Los productos tienen los siguientes pesos (490, 500, 510, 515 y 520) gramos respectivamente.

Por lo que su media es:

_ 490+500+510+515+520 2535

X = -------------------------------- = ------- = 507

5 5

La varianza sería:

(490-507)²+(500-507)²+(510-507)²+(515-507)²+(520-507)²

S²= ---------------------------------------------------------------------------------

(5-1)

(-17)²+(-7)²+(3)²+(8)²+(13)² 289+49+9+64+169 580

S²=----------------------------------- = ---------------------------- = ----- =145

4 4 4

Por lo tanto la desviación estándar sería:

___ ¬¬¬¬¬¬¬¬

S = √145 =12.04 = 12

Con lo que concluiríamos que el peso promedio de los empaques es de 507 gramos, con una tendencia a variar por debajo o por encima de dicho peso en 12 gramos. Esta información le permite al gerente determinar cuánto es el promedio de perdidas causado por el exceso de peso en los empaques y le da las bases para tomar los correctivos necesarios en el proceso de empacado

Ejemplo 2: Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de 1er año, a saber: 18,23, 25, 27, y 34. Al calcular la media aritmética (promedio de las edades, se obtuvo 25.4 años, encontrar la varianza de las edades de estos estudiantes:

Para calcular se utiliza una tabla estadística de trabajo de la siguiente manera:

Xi

( Xi –¬MA)

( Xi –MA)²

18 (18 - 25.5)=-7.4 (-7.4)²=54.76

23 (23 - 25.5)=-2.4 (-2.4)²= 5.76

25 (25 -25.5)=-0.4 (-0.4)²= 0.16

27 (27 - 25.5)= 1.6 ( 1.64)²= 2.16

34 (34 - 25.5)= 8.6 ( 8.6)² =73.96

Total 137.20

Ʃ(xi-Ⱦ)² 137.20

σ²= ----------- = ----------- = 27.4 años

n 5

Respuesta: la varianza de las edades es de 27.4 años

La varianza para datos agrupados

Si en una tabla de distribución de frecuencias. Los puntos medios de las clases son X1, X2… Xn; y las frecuencias de las clases f1, f2…fn.

La formula de computación que se da a continuación:

ΣXi2fi - [(ΣXifi)2/N]

δ2 = ----------------------------

N donde N=Σfi

PROPIEDADES DE LA VARIANZA

• La varianza es la medida de dispersión cuadrática óptima por ser la menor de todas.

• Si a todos los valores de la variable se le suma una constante la varianza no se modifica. Veámoslo:

Si a xi le sumamos una constante xi? = xi + k tendremos (sabiendo que Ⱦ = Ⱦ +k)

• Si todos los valores de la variable se multiplican por una constante la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicha constante. Veámoslo:

Si a xi? = xi • k tendremos (sabiendo que Ⱦ = Ⱦ-k)

• Si

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