UNIDAD N° 8: “Componentes de Series Cronológicas”

UNIDAD N° 8: “Componentes de Series Cronológicas”.

INTRODUCCIÓN

En economía y administración de empresas hay muchas series de datos numéricos que indican magnitudes o frecuencias que corresponden a sucesivos valores de la variable de tiempo, en intervalos generalmente mensuales o anuales. Estas series se llaman series de tiempo o series cronológicas.

Las variaciones de las series cronológicas son el resultado de la acción de múltiples factores que podemos clasificar en cuatro grupos fundamentales llamados componentes de las series cronológicas. Estas componentes son:

1. La tendencia secular, o simplemente tendencia (T).
2. Las fluctuaciones cíclicas (C).
3. Las variaciones estacionales (E).
4. Las variaciones irregulares (I).

La determinación de las componentes se puede lograr mediante distintos procedimientos.

Los siguientes métodos son los que se utilizan para la determinación de la tendencia (métodos de ajustamiento):

1. Ajustamiento gráfico.
2. Ajustamiento mecánico o de los promedios móviles.
3. Ajustamiento analítico.

Mediante el ajustamiento obtenemos la ley que rige la manifestación del fenómeno de carácter ideal y tendencial, que se expresa mediante una curva con variaciones suaves que indica claramente la propensión o tendencia del fenómeno a través del tiempo.

Los métodos de ajustamiento se aplican fundamentalmente para determinar la tendencia secular, pero también se pueden utilizar con otros fines.

AJUSTAMIENTO GRÁFICO

A simple vista se traza una curva suave (puede ser una recta) que pase lo más cerca posible de la mayoría de los puntos y cumpla las siguientes condiciones:

1. La suma de las ordenadas reales (frecuencias) debe ser igual a la suma de las ordenadas teóricas (ordenadas de la curva correspondiente a los mismos valores de la variable).
2. Uniendo los puntos reales con una recta, la superficie que se desprecia con la curva ajustatriz debe ser igual a la que se toma de más.

El inconveniente principal del ajustamiento gráfico consiste en que cada dibujante trazará una curva distinta y por lo tanto el ajustamiento dependerá del criterio del dibujante.

De lo anteriormente dicho podemos extraer algunas conclusiones interesantes:

1. La curva ajustatriz proporciona valores medios. Es una especie de media aritmética de los valores reales ya que la suma de los desvíos con respecto a la curva ajustatriz tiene la propiedad de ser nula, como la suma de los desvíos con respecto de la media.
2. Los datos por lo general se dan en años o meses pero podemos efectuar un cambio de origen, suponiendo que uno de los años (o meses) es el origen (cero) y asignamos a los otros años sucesivos, los números 1, 2, 3, etc… Si hay años a la izquierda del origen estos llevan números negativos, -1, -2, -3, …, etc.

En la siguiente figura se puede apreciar una serie de datos, ajustada, correspondiente a los montos de ventas (frecuencias) de una empresa entre los años 1990 a 2001. Como se ve la curva ajustatriz marca una tendencia en el tiempo, suavizando el comportamiento de los datos reales.

[pic 1]

AJUSTAMIENTO MECÁNICO O DE LOS PROMEDIOS MÓVILES

En este método los valores teóricos se obtienen calculando sucesivamente la media aritmética de un número constante de frecuencias.

El dato teórico se ubica a la altura del centro de los datos que se utilizaron para calcularlo.

Dado un número más o menos grande de datos se procede de la siguiente manera:

Primeramente, se determina cuantos elementos intervendrán en el cálculo del promedio. Según el caso se suelen tomar 2, 3, 5, 7, …, etc. Por lo general se toma un número impar debido a la ventaja que representa que el dato teórico este ubicado a la misma altura del dato real central.

Cuando se toma un número par, debe efectuarse un segundo ajustamiento con un número par de datos para que los datos teóricos queden ubicados a la misma altura de los datos reales.

Trabajaremos con tres datos para simplificar. Supongamos que el número total de frecuencias es n.

En el cuadro anterior se conocen únicamente los valores de las dos primeras columnas, los demás se colocarán a medida que se calculen.

Para calcular el primer promedio (columna 3), se toman los tres primeros valores de la serie:

[pic 30]

El segundo promedio se obtiene despreciando el primero de los datos utilizados anteriormente y tomando el que sigue en la serie:

[pic 31]

Y así sucesivamente.

Si el ajustamiento realizado se considera suficiente (según el criterio del investigador) se ubican estos puntos en el plano y se unen con una curva suave y la operación ha concluido.

[pic 32]

Si fuera necesario se puede efectuar un ajustamiento de segundo orden, con el mismo, o con distintos números de datos. El gráfico se construye ahora con los valores obtenidos en el segundo ajustamiento (columna 3). Se puede realizar un tercer ajustamiento en casos muy excepcionales.

El método de los promedios móviles se aplica en cualquier serie que tenga fluctuaciones periódicas, aunque no sea una serie cronológica.

AJUSTAMIENTO POR CUADRADOS MÍNIMOS

Este método trata de determinar una fórmula matemática para expresar la tendencia de un fenómeno.

Al estudiar el ajustamiento gráfico dijimos que la curva ajustatriz es una especie de media aritmética de los valores reales y que cumple la condición de que la suma de las desviaciones de los datos reales con respecto a la curva ajustatriz, debe ser igual a cero, que es una de las propiedades de la media aritmética.

Otra propiedad de la media aritmética es la de que la suma de los cuadrados de los desvíos de los datos reales, con respecto a la media aritmética es un mínimo.

“Este método trata de encontrar una fórmula mediante la cual se obtenga un valor de las frecuencias que haga de media aritmética de las frecuencias reales.

Para obtener esta fórmula, tenemos que tener en cuenta que debe cumplir con las propiedades de la media aritmética. La propiedad mediante la cual vamos a obtener esta fórmula, que haga de la media aritmética, es la que dice: La suma de los cuadrados de los desvíos de los datos reales, con respecto de la media aritmética es un mínimo”.

Si llamamos  a los desvíos de las frecuencias reales, respecto de la curva ajustatriz, en un gráfico estos serían:[pic 33]

[pic 34]

Representando mediante  la frecuencia real (ventas, producción, etc.) para el período  (año, meses, etc.) y por  al valor teórico correspondiente al período , si estos valores teóricos  son la media aritmética de las frecuencias reales se debe cumplir que:[pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]

[pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

 es una fórmula, que para nuestro estudio será la ecuación de una recta, es decir ajustaremos la serie con una recta ajustatriz que hará de media aritmética de los datos reales o sea que:[pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

Siendo:

•  el número de períodos (años, meses, etc.).[pic 46]
•  es el período (año, mes, etc.) para el cual se calcula la frecuencia teórica.[pic 47]
•  es la frecuencia real en el período .[pic 48][pic 49]
•  son los valores desconocidos, a determinar, para que esta recta haga de media aritmética de los datos reales, de tal forma que Z sea un mínimo.[pic 50]

En nuestro caso debemos derivar Z con respecto a “a y b”, dado que estamos buscando cuales son los valores de “a y b” que hacen mínima la función Z, luego debemos igualar estas derivadas a cero, y despejar de esta igualdad, los valores de “a y b”.

[pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

[pic 57]

Por su parte:

[pic 58]

[pic 59]

[pic 60]

[pic 61]

[pic 62]

[pic 63]

[pic 64]

Las expresiones (*) y (**) forman un sistema de ecuaciones llamados sistema normal de Gauss:

[pic 65]

El sistema anterior se resuelve fácilmente, pero para simplificar los cálculos en lugar de trabajar con los valores naturales que puede asumir la variable  (tiempo año, meses, etc.) se utiliza una variable desvío con respecto a la media, con unidad igual a la amplitud del intervalo:[pic 66]

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