3.4. Decision Estadistica, Errores Tipo I Y Tipo II

3.4 Decisión estadística, errores tipo I y II.

Error tipo I.

Rechazar la hipótesis nula, H0 cuando en realidad es verdadero. La probabilidad de cometer otra clase de error, denominado error de tipo II, se denota con la letra griega beta β.

Error tipo II.

Aceptar la hipótesis nula cuando en realidad es falsa.

Hipótesis nula. Se acepta HO Se rechaza H0

H0 es verdadera Decisión correcta Error tipo I

H0 es falsa Error tipo II Decisión correcta.

Recuérdese que el nivel de significacia, identificando con el símbolo∝, es la probabilidad de que se rechace la hipótesis nula cuando es verdadera. Esto se denomina un error de Tipo I. Los niveles de significacia más comunes son 0.05 y 0.01.

En una situación de prueba de hipótesis también existe la posibilidad de que una hipótesis nula sea aceptada cuando en realidad es falsa. Esto es se acepta una hipótesis nula falsa. A esto se le denomina error de Tipo II se denota con la letra griega beta β. Para ilustrar el cálculo beta, supóngase que un fabricante compra varillas de acero para hacer pasadores de chaveta.

Ejemplo.

La experiencia indica que la resistencia media muestra ( x ̃) queda entre 9922 psi y 10078 psi, se acepta el lote. La media de esta distribución se denota con M_0. Las colas de la curva representan la probabilidad de cometer un error de Tipo I, esto es, rechazar el lote recibido de varillas cuando en realidad el conjunto es bueno, con una resistencia media de 10000 psi.

¿Cómo se calcula la probabilidad de un error de Tipo II? (Recuerde que es la probabilidad de aceptar un “lote bueno” cuando en realidad la media no vale 10000 psi).

Considérese que la media poblacional desconocida del lote recibido, denotada por M_1, en realidad vale 9 900 psi. ¿Cuál es la probabilidad de que el inspector de control de calidad se equivoque al rechazar la remesa (un error Tipo II)?

La probabilidad de cometer un error de Tipo II, que se presenta con el área de color verde en el Diagrama, región B, puede calcularse determinado el área bajo la curva normal que se encuentra arriba de 9 922 psi. El cáilculo de las áreas bajo la curva normal que se encuentran arriba de 9 922psi. El calculo de las areas bajo la curva. Primero es necesario determinar la probabilidad de que la media muestral quede entre 9 900 y 9 922. Despues se resta esta probabilidad de 0.5000 (que representa todo el área mas alla de media de 9 900) a fin de especificar la probabilidad de cometer un error de Tipo II.

El número de unidades estándares (valores z) comprendías entre la media del lote recibido (9 900), denotada por M_1, y x ̅c que representa el valor critico para 9 922, se calcula mediante:

ERROR DE TIPO II

z= (X ̅c-M_1)/(σ/√n)

FOTO

Con n= 100 y σ=400, el valor de z es 0.55:

z= (X ̅c-M_1)/(σ/√n)

z= (9922-9900)/(400/√100)= 22/40=0.55

El área bajo la curva entre 9 900 9 922 (un valor z de 0.55) es 0-2088 ( a partir del apéndice D)

El área bajo la curva mas allá de 9 922 psi vale 0.5000-0.2088, o sea 0.2912; esta es la probabilidad de cometer un error de tipo II, es decir, aceptar un lote de varillas de acero cuando la media poblacional e realidad ale 9 900 psi.

3.5 Pruebas de hipótesis para la proporción.

Es la relación por cociente o porción relativa, que expresa la parte fraccional de la población o muestra que tiene un atributo particular de interés.

Supóngase que de 92 de 100 personas en una encuesta están a favor de ahorrar luz eléctrica durante el día. La relación proporcional muestral es 92/100, ósea 0.92 (=92). Si p representa tal relación, entonces:

Relación proporcional muestral p=(Números de éxitos en la muestra)/(Número muestreado.)

Antes de probar una relación proporcional de población deben considerarse algunos supuestos y cumplirse algunas condiciones. Para poner a prueba una hipótesis acerca de una relación proporcional de población, se selecciona una muestra aleatoria de esa población. Este proceso se denomina experimento. Se supone que se cumplen las suposiciones binomiales: los datos muestréales recopilados son resultado de conteos; (2) un resultado de un experimento e clasifica en una de dos categorías mutuamente excluyentes: un éxito o un fracaso; (3) la probabilidad de un éxito se mantiene igual para cada ensayo; (4) los ensayos son independientes, lo que significa que el resultado de uno no afecta el resultado de cualquier otro.

La prueba que se realizara en breve es adecuada cuando tanto n como n (-), valen al menos 5. Se tiene que n es el tamaño de la muestra, y es la relación proporcional de población. La prueba se presenta en esta sección debido a que es una extensión especial de a prueba presenta en esta sección debido a que es una tensión especial de la prueba. Dicha prueba es un buen ejemplo del caso donde la distribución probabilística normal se aplica para aproximar con gran exactitud una del tipo binomial.

Ejemplo:

Supóngase que elecciones anteriores en un estado federal indicaron que es necesario que un candidato a gobernador obtenga al menos 80% de los votos en la sección norte del estado en cuestión para que resulte elegido. El gobernador actual está interesado en evaluar las oportunidades que tiene de lograr la reelección para el cargo, y planea la realización de una encuesta que incluya 2 000 electores registrados en dicha área.

Se debe emplear el procedimiento de prueba de hipótesis para determinar las probabilidades de reelección del gobernador.

Se realiza la siguiente prueba de hipótesis, ya que tanto n como n(1-) exceden de 5. En este problema n= 2000 y = 0.80 (es la relación proporcional de los votos en el norte del estado – iguala 80%- necesaria para la reelección). Por tanto n= 2000 (0.80) = 16000, y también n(1--) = 2000 (1 – 0.80) = 4000. Tanto 1 600 como 4000 son mayores que 5.

Paso 1.

La hipótesis nula, H0, es que la relación proporcional poblacional, vale 0.80. La hipótesis alternativa H, es que tal relación es menor que 0.80 Desde un punto de vista práctico, el gobernador actual se preocupa solo cuando la relación muestral es menor que 0.80. Si es igual a, o mayor que, 0.80, no tendrá problema; es decir, los datos muéstrales indicarían que probablemente será reelegido. Estas hipótesis se expresan simbólicamente de la siguiente forma:

H_0≥0.80

H_I<0.80

Se tiene que H, indica una dirección. En consecuencia, como se observo anteriormente, prueba es de una cola, con el signo de desigualdad señalando hacia la extremidad o cola de la distribución que contiene a la región de rechazo.

Paso 2.

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