Algebra de funciones

Universidad Nacional Autónoma de México[pic 1][pic 2]

Escuela Nacional Preparatoria

ALGEBRA DE FUNCIONES

Sean:

                            f(x): ℝ → ℝ                g(x): ℝ → ℝ

Con dominios 𝐷𝑓 y 𝐷𝑔 respectivamente.

Describimos las siguientes operaciones fundamentales entre funciones:

1. Función suma: (𝑓+𝑔) (𝑥) = 𝑓 (𝑥) + 𝑔 (𝑥) 
                            𝐷𝑓 + 𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
2. Función diferencia: (𝑓−𝑔) (𝑥) = 𝑓 (𝑥) − 𝑔 (𝑥)
                                   𝐷𝑓 – 𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
3. Función producto: (𝑓⋅𝑔) (𝑥) = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) 
                                 𝐷𝑓 ⋅ 𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
4. Función cociente: () (𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)
                                𝐷𝑓/𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 tal que 𝑔(𝑥) ≠ 0 [pic 3]

1. Función producto por un escalar: (𝐶⋅𝑓) (𝑥) = 𝐶 ⋅ 𝑓 (𝑥)

                                                                     𝐷𝐶 ⋅ 𝑓 = 𝐷𝑓[pic 4]

Ejemplo 1:

Sean 𝑓(𝑥) =  y 𝑔(𝑥) =

Obtenga:
(𝑓+𝑔) (𝑥)            (𝑓−𝑔)(𝑥)                (𝑓⋅𝑔)(𝑥)                ()(𝑥)

Solución
𝐷(𝑓(𝑥)) = {𝑥 /  −1 ≠ 0}
𝐷(𝑔(𝑥)) = {𝑥 /  ≠ 0}[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

−1=0 ⇒ (𝑥−1) (𝑥+1) = 0
                   = 1
                   = −1[pic 10][pic 11][pic 12]

⇒𝐷(𝑓(𝑥)) = {𝑥 / 𝑥 ∈ 𝑅 −{−1,1}}= (−∞,−1) ∪ (−1,1) ∪ (1,∞)

𝐷(𝑔(𝑥))={𝑥 / 𝑥 ∈ 𝑅− {0}} = (−∞,0) ∪ (0,∞)

𝐷𝑓∩𝐷𝑔= {𝑥 / 𝑥 ∈ 𝑅− {−1,0,1}

= (−∞, −1) ∪ (−1,0) ∪ (0,1) ∪ (1, ∞)

1. (𝑓+ g) = f (x)+ g (x)

𝑓(𝑥) =  y 𝑔(𝑥) = [pic 13][pic 14]

 ⇒ 𝑓(𝑥) + g (x) = + [pic 15][pic 16]

⇒ (  ) +  (  )[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

⇒[pic 21]

⇒ //[pic 22]

𝐷 ( (𝑓+g)(𝑥) )= 𝐷𝑓 ∩ 𝐷g = {𝑥 / 𝑥 ∈ 𝑅 −{−1,0, 1}= (−∞,−1) ∪ (−1,0) ∪ (0,1) ∪(1 ,∞)

1. (𝑓- g) = f (x) - g (x)

𝑓(𝑥) =  y  𝑔(𝑥) = [pic 23][pic 24]

𝑓(𝑥) − g (x) = − ([pic 25][pic 26]

⇒  (  ) −   (  )[pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]

⇒[pic 31]

⇒[pic 32]

⇒[pic 33]

⇒//[pic 34]

𝐷 ( (𝑓−g)(𝑥) )= 𝐷𝑓 ∩ 𝐷g = {𝑥 / 𝑥 ∈ 𝑅 −{−1, 0, 1}= (−∞,−1) ∪ (−1,0) ∪ (0,1) ∪(1 ,∞)

1. (𝑓⋅ g) (x) = f (x) ⋅ g (x)

𝑓(𝑥) =   y    𝑔(𝑥) = [pic 35][pic 36]

     𝑓(𝑥) ⋅ g (x) = ( ) ([pic 37][pic 38]

                      ⇒ //[pic 39]

𝐷 ( (𝑓⋅ g)(𝑥) )= 𝐷𝑓 ∩ 𝐷g = (−∞,−1) ∪ (−1,0) ∪ ( 0,1) ∪(1 ,∞)

1. (𝑓/ g) (x) = f (x) / g (x)

 𝑓(𝑥) =  y  𝑔(𝑥) = [pic 40][pic 41]

 =   /  ⇒  [pic 42][pic 43][pic 44][pic 45]

 [pic 46]

⇒ =  [pic 47][pic 48][pic 49]

𝐷 (𝑓 / g) = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷g   g(x)≠ 0

...