Autovalores Optimizacion No Lineal

Autovalores y Autovectores AlgEcDif

Problema:

Tenemos una aplicación lineal L de (un endomorfismo).

En coordenadas toma forma matricial: Y = AX, donde A es la matriz de aplicación.

Nuestro objetivo es cambiar los ejes del espacio de forma que la misma a aplicación L se represente en las nuevas coordenadas mediante una matriz A’ lo más simple posible. Para ello es necesario cambiar las bases.

P es una matriz de cambio de base. Las antiguas coordenadas X e Y del vector y su imagen son expresadas en la nueva base como X’ e Y’, y A’ es la matriz simplificada que las relaciona y que estamos buscando. En fórmulas:

Y = AX X=PX’ Y=PY’

Y’ = A’X’

Sustituimos X e Y en la ecuación Y=AX

PY’ = A P X’

Y’ = P-1 APX’ A’ = P-1AP

La nueva matriz viene dada por la fórmula A’ = P-1AP.

Se dice entonces que las matrices A y A’ están conjugadas o que son semejantes.

Def: A’ está conjugada con A (A’~A) si existe una matriz P no singular tal que A’ = P-1AP. Se dice también que es semejante A a A’.

Relación de equivalencia. La conjugación satisface las tres propiedades básicas de las relaciones de equivalencia de la teoría de conjuntos

(1) Reflexiva: Una matriz A está conjugada con ella misma. P es la matriz de identidad.

A~A P = I

(2) Simétrica: Si A está conjugada con B, B está conjugada con A.

Demostración:

B = P-1AP, A= Q-1BQ

PB-1P = A QBP-1 = Q-1BQ Q = P-1 B~A

(3) Transitiva: Si A~B y B~C, entonces A~C

Nuestro deseo es asociar a una matriz dada una matriz diagonal semejante por cambio de base. Ello se puede hacer casi siempre pero no siempre.

Diagonalización de Matrices

El modelo deseado es una matriz del tipo

Como punto de partida tenemos la matriz A de aplicación lineal, y tenemos que calcular los autovalores y la matriz de cambio de base P. Escribimos la matriz P descompuesta por columnas.

Así tenemos

Problema de los autovalores

Se define mediante la fórmula

son los autovalores

los autovectores

La matriz P que hallemos tiene que ser NO singular para representar un cambio de base.

Ejemplo:

Se nos da la matriz A de una aplicación lineal de en .

Sustituimos los datos que tenemos en la ecuación:

nos queda un sistema:

El sistema es homogéneo. Todos los sistemas homogéneos tienen al menos una solución trivial, pero ésta no nos interesa porque la matriz P

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