Optimización Lineal

Optimización Lineal

(Avance Monografía)

Introducción

La optimización, también denominada programación matemática, sirve para encontrar la respuesta que proporciona el mejor resultado, la que logra mayores ganancias, mayor producción o felicidad o la que logra el menor costo, desperdicio o malestar. Con frecuencia, estos problemas implican utilizar de la manera más eficiente los recursos, tales como dinero, tiempo, maquinaria, personal, existencias, etc. 8 Los problemas de optimización generalmente se clasifican en lineales y no lineales, según las relaciones del problema sean lineales con respecto a las variables. Existe una serie de paquetes de software para resolver problemas de optimización. Por ejemplo, LINDO o WinQSB resuelven modelos de programas lineales y LINGO y What'sBest! resuelven problemas lineales y no lineales. 9 PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA La Programación Matemática, en general, aborda el problema de determinar asignaciones óptimas de recursos limitados para cumplir un objetivo dado. El objetivo debe representar la meta del decisor. Los recursos pueden corresponder, por ejemplo, a personas, materiales, dinero o terrenos. Entre todas las asignaciones de recursos admisibles, queremos encontrar las que maximizan o minimizan alguna cantidad numérica tal como ganancias o costos. El objetivo de la optimización global es encontrar la mejor solución de modelos de decisiones difíciles, frente a las múltiples soluciones locales.

Reseña Histórica

El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Joseph Fourier, después de quien nace el método de eliminación de Fourier-Motzkin. La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria.

Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantoróvich, un matemático de origen ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en 1975. En 1979, otro matemático ruso, Leonid Khachiyan, diseñó el llamado Algoritmo del elipsoide, a través del cual demostró que el problema de la programación lineal es resoluble de manera eficiente, es decir, en tiempo polinomial. Más tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto

interior para resolver problemas de programación lineal, lo que constituiría un enorme avance en los principios teóricos y prácticos en el área.

El ejemplo original de Dantzig de la búsqueda de la mejor asignación de 70 personas a 70 puestos de trabajo es un ejemplo de la utilidad de la programación lineal. La potencia de computación necesaria para examinar todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor asignación es inmensa (factorial de 70, 70!) ; el número de posibles configuraciones excede al número de partículas en el universo. Sin embargo, toma sólo un momento encontrar la solución óptima mediante el planteamiento del problema como una programación lineal y la aplicación del algoritmo simplex. La teoría de la programación lineal reduce drásticamente el número de posibles soluciones factibles que deben ser revisadas.

Definición

¿Qué es la optimización?

Es una herramienta esencial de modelado. • Optimizar significa encontrar el mínimo o el máximo de una cierta función, definida en cierto dominio. • Optimización global es la tarea de encontrar el MEJOR conjunto de condiciones admisibles para lograr el objetivo, formulado en términos matemáticos

Optimización matemática

Un modelo de Optimización Matemática consiste en una función objetivo y un conjunto de restricciones en la forma de un sistema de ecuaciones o inecuaciones. Los modelos de optimización son usados en casi todas las áreas de toma de decisiones, como en ingeniería de diseño y selección de carteras financieras de inversión .

Cómo definir un problema de optimización

Dado un espacio de búsqueda S junto con su parte factible F ⊆ S, encontrar x ∈ F tal que eval(x)<= eval(y) para todo y ∈ F • El punto x que satisface esta condición se llama solución global

Funciones Lineales

La programación lineal (PL) es una herramienta útil para resolver problemas de optimización. • En 1947, George Dantzig creó un método eficaz, el algoritmo simplex, para resolver problemas de manejo óptimo de recursos limitados, a los cuales se les llamó problemas de PL. • La aplicación es tan diversa que se abarca sectores como la industria, la banca, el transporte, la educación y muchos más.

Una función f(X1,X2,...Xn) es una función lineal de X1,X2,...Xn si y sólo si para algún conjunto de constantes C1,C2,...Cn f(X1,X2,...Xn)= C1X1 + C2X2 + CnXn.

Ejemplo: f(X1,X2) =2X1 + X2 es una función lineal de X1 y X2 f(X1,X2)= X12 X2 no es una función lineal de X1 y X2

Aplicaciones

http://es.slideshare.net/jjsch01/programacion-lineal-metodo-simplex-28653188

http://www.vitutor.com/algebra/pl/a_g.html

http://es.scribd.com/doc/67943541/Ejercicios-Resueltos-Programacion-Lineal#scribd

http://www.alasala.cl/wp-content/uploads/2015/04/Problemas-resueltos-de-Programaci%C3%B3n-Lineal.pdf

http://juliovargas.udem.edu.ni/wp-content/uploads/2014/01/SIMPLEX.pdf

1.-Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección

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