Calculo En Actuaria

INTRODUCCION

Por lo general, en los cursos de Cálculo Diferencial e Integral1 que se imparten en la UNAM,

con respecto a las carreras de economía, demografía, administración y actuaría, se tiene que, los

cursos se basan en los conceptos puramente matemáticos o físicos, lo que da como resultado que

los alumnos de dichas carreras tengan un alto índice de reprobación en las materias de cálculo.

El índice de reprobación en los cursos de cálculo de los estudiantes de las carreras antes

mensionadas es muy alto ya que se debe a diversas causas, que considerando sólo el lado del

estudiante pueden ser: la mala preparación en el nivel medio superior, la falta de estudio de la

materia, la falta de interés, el poco tiempo que le dedican a su estudio y la falta de asistencia

a las clases.

Al considerar que los cursos de cálculo tradicionales in‡uyen de manera importante en

el alto índice de reprobación de la materia, y dado que el enfoque común se da a través de

temas de la física o de las matemáticas ( lo que es muy natural ya que fueron los problemas

físicos, principalmente, los que dieron origen al cálculo), dicha motivación no es su…ciente

para los estudiantes de dichas carreras, pues consideran que el cálculo tiene poca aplicación

a su disciplina. Es cierto que algunos profesores incluyen en su exposición algunos problemas

adecuados para motivar a los estudiantes de las carreras socio-económicas pero, generalmente,

no es su…ciente ya que la inclusión de tales problemas a veces no es natural o resulta ser tardía

y cuando se llega a estos problemas, el interés en los estudiantes por los cursos de cálculo ha

decaído.

1En la exposición se dirá, en adelante, sólo Cálculo en lugar de Cálculo Diferencial e integral.

6

El presente trabajo tiene por objeto que los estudiantes de las carreras socio-económicas

encuentren una motivación más genuina, con base en problemas similares a los de la física

que dieron origen al cálculo, pero con otro tipo de lenguaje, y a ejercicios que les ayuden a

desarrollar y rea…rmar los conceptos básicos del cálculo y, además, que los estudiantes de física

y matemáticas también puedan tener un panorama más amplio en cuanto a la aplicación que

se le puede dar al cálculo.

En este trabajo se presenta una exposición de cómo se pueden enriquecer algunos temas del

cálculo, sin pretender que se impartan cursos dirigidos sólo a estas especialidades, con lo que

se espera que los estudiantes de dichas carreras, que llevan un curso clásico de cálculo en la

UNAM, cuenten con un material propio extra clase que le ayude a entender y …jar los conceptos

vistos en el aula, puedan mejorar su rendimiento.

Asimismo, se pretende que el profesor de cálculo tenga un material que le ayude a enriquecer

el enfoque de sumateria y que, aparte demotivar a sus alumnos de las carreras socio-económicas,

brinden más posibilidades de aplicación a los alumnos de las carreras de física y matemáticas,

y así puedan apreciar mejor la potencialidad del cálculo. De esta forma se considera que se

ayudaría a abatir el índice de reprobación anteriormente señalado.

En los siguientes capítulos se muestran diversas aplicaciones de los temas de funciones,

derivadas, máximos y mínimos, dibujo de gra…cas, integración, ecuaciones diferenciales ordinarias

de primer orden y una introducción a varias variables.

7

Capítulo 1

FUNCIONES.

El capítulo que se presta, de manera natural, para comenzar a presentar ejemplos relacionados

con las materia de actuaría, economía, etc. es el de funciones, por lo que es el que aparece en

primer lugar.

1.1 APLICACIONES A LA ECONOMÍA.

Cuando se produce un bien o se presta un servicio se genera un costo para una organización,

que puede ser de tipo comercial, industrial, etc.

1.1.1 Funciones Costo.

Ahora se considera distintos tipos de costo, que son funciones del siguiente tipo:

Función costo total.

La función costo total Q(x) es una relación cuyo dominio es un subintervalo A de R+ que

representa la cantidad de producción y cuyo codominio es R+ = (0;1)1; es decir,

Q : A ½ R+ !R+

x ! Q(x)

1En la exposición se, expresará R+ = (0;1); en adelante, sólo como R+:

8

Esta función representa el dinero que sale de una organización y se encuentra de…nida en

términos de dos componentes : costo variable y costo …jo. Donde los costos variables representan

los costos de las materias primas y los costos relacionados con la mano de obra, entre otros; los

costos …jos representan los costos en los que se incurre, por ejemplo, por concepto de renta del

edi…cio y manutención de la organización. Ambas componentes deben sumarse para obtener el

costo total, así:

Costo total = Costo variable + Costo …jo

Observación : Es claro que el dominio de la función costo es un subconjunto de los números

reales (en la práctica es un conjunto discreto); por esta razón los economistas aproximan las

funciones de…nidas en este conjunto por medio de métodos estadísticos o por extrapolación.

Las funciones costo tratadas en este contexto son polinomiales o exponenciales y sus propiedades

son:

1.- Cuando la cantidad de unidades producidas x es igual a cero, el costo total es nulo o

positivo, es decir Q(0) ¸ 0: Si Q(0) 6= 0, entonces Q(0) representa los costos …jos de producción.

2.- El costo total es no decreciente ( se incrementa a medida que aumenta x) y dentro de

un intervalo en donde el costo de los insumos es constante, la función costo total es creciente..

3.- Si la función costo total es exponencial o polinomial a lo más de grado dos, entonces, el

costo total por producir una cantidad grande de cualquier artículo alcanza un punto a partir

del cual si x crece, la función costo total crece con mayor rapidez, sin embargo, para funciones

costo total, polinomiales, de grado mayor que dos el comportamiento puede ser distinto, como

es el caso de la función costo total cúbica, como se puede ver en la página ( ) de la sección sobre

el dibujo de grá…cas.

Considérese un costo total dado por la siguiente relación

Q(x) = (a+ b)x+ cf :

donde a representa los costos de la materia prima, b los costos de la mano de obra y cf los

9

costos

...