Calculo fasorial

C´alculo fasorial

El c´alculo fasorial es un m´etodo que permite obtener de una forma sencilla

la respuesta de r´egimen permanente de un circuito excitado con se˜nales

sinusoidales. Es decir, resuelve en forma directa la respuesta forzada de la

ODE de equilibrio del circuito cuando la fuente forzante es de tipo sinusoidal.

El m´etodo se basa en la representaci´on de la se˜nal el´ectrica mediante un

vector complejo o fasor, lo cu´al permite transformar la ODE en una ecuaci´on

algebraica.

5.1.1. Fundamentaci´on

Sup´ongase un circuito excitado con una fuente senoidal de la forma

v(t) = Vm sen(ωt + θv) (5.1)

esta fuente, seg´un la igualdad de Euler, tambi´en puede escribirse como

v(t) = Im

h

Vm ej(ωt+θv)

i

(5.2)

si se trata de una fuente cosenoidal se puede escribir tomando la parte real

de la exponencial anterior

v(t) = Vm cos(ωt + θv) = Re

h

Vm ej(ωt+θv)

i

(5.3)

Es decir que si se alimenta al sistema con una fuente exponencial de forma

v(t) = Vm ej(ωt+θv) = Vm cos(ωt + θv) + j Vm sen(ωt + θv) (5.4)

se estar´a alimentando con dos fuentes sinusoidales, una real y otra imaginaria,

las que por teorema de superposici´on generar´an dos respuestas independientes,

una real debida a Vm cos(ωt+θv) y la otra imaginaria debida a

145

146 CAP´ITULO 5. M´ETODO FASORIAL

j Vm sen(ωt + θv). Luego, la respuesta de inter´es ser´a la parte imaginaria o

la parte real de la respuesta encontrada, seg´un sea la fuente de alimentaci´on

que excite al circuito de tipo senoidal o cosenoidal respectivamente.

Utilizar una fuente exponencial como la (5.4) para excitar un circuito

presenta ciertas ventajas de c´alculo que facilitan la obtenci´on de la respuesta

forzada, ya que no se necesita resolver la ODE de equilibrio del sistema.

5.1.2. Fasor y fasor arm´onico

En ingenier´ıa, se llama fasor arm´onico a la representaci´on compleja de

una se˜nal sinusoidal (como la (5.4)). Este fasor arm´onico se compone de

un vector fijo (ejθv ) y un vector rotante que gira a ω radianes por segundo

(ejωt). La parte fija junto con el m´odulo del vector se lo llama simplemente

fasor, y es la representaci´on en t = 0 del fasor arm´onico.

Tomando como ejemplo la (5.4) tenemos

Vm ej(ωt+θv)

| {z }

fasor arm´onico

= ¯V |{zm}

fasor

ejωt (5.5)

con

¯V

m = Vmejθv (5.6)

el fasor formado por la amplitud Vm y la fase inicial θv de la se˜nal que

representa el fasor arm´onico1 (5.5).

En la figura 5.1 se puede ver gr´aficamente un fasor arm´onico, un incremento

de tiempo positivo se representa por convensi´on como una rotaci´on

antihoraria del vector.

Im

Re

ωt′ + θ θv v

ejθv

ej(ωt′+θv)

ωt

Figura 5.1: Fasor arm´onico en t = 0 y t = t′

1En este caso las se˜nales (5.1) o (5.3), seg´un se tome, respectivamente, la parte imaginaria

o real del fasor arm´onico.

5.2. RELACI´ON TENSI´ON-CORRIENTE FASORIAL 147

Consideraciones pr´acticas

Para simplificar la notaci´on el fasor habitualmente se escribe en notaci´on

polar2

¯V

m = Vm6 θv

Debido a que en las aplicaciones el´ectricas se utilizan normalmente los

valores eficaces de tensiones y corrientes, se prefiere la utilizacion del valor

eficaz de la se˜nal sinusoidal en la representaci´on fasorial. Esto se hace

simplemente dividiendo el valor m´aximo por √2.

¯V

=

¯V

m √2

= Vef 6 θv (5.7)

en adelante se utiliza esta convensi´on para la representaci´on fasorial.

Seg´un lo anterior, una se˜nal sinusoidal general de forma

y(t) = Acos(ωt ± η) (5.8)

tiene asociado un fasor

P[y(t)] = ¯Y (5.9)

tal que

¯Y

=

A

√2

6 ± η (5.10)

la transformaci´on (5.9) se conoce con el nombre de transformada fasor 3.

Esta transformada mapea una funci´on sinusoidal (dominio del tiempo) en

un vector complejo (que se dice est´a en el dominio de la frecuencia compleja

jω), y su derivada (o integral) en otro vector complejo que se relaciona con

el primero mediante una operaci´on algebraica. Por esta propiedad hace que

una ODE en el dominio del tiempo se transforme en una ecuaci´on algebraica

en el dominio de jω, como se ver´a mas adelante.

5.2. Relaci´on tensi´on-corriente fasorial

Para poder aplicar esta nueva representaci´on compleja de las se˜nales de

excitaci´on, debemos determinar cu´al ser´a la respuesta de corriente de cada

elemento ante una excitaci´on como ´esta, es decir determinar la relaci´on

tensi´on-corriente fasorial para cada elemento.

2Aunque para operaciones de suma o resta se prefiere la notaci´on rectangular

3Notar que tanto una se˜nal senoidal como una cosenoidal tiene el mismo fasor asociado,

por lo que la transformada fasor no es ´unica.

148 CAP´ITULO 5. M´ETODO FASORIAL

5.2.1. Resistor

La relaci´on tensi´on-corriente en un elemento resistivo puro, seg´un Ley

de Ohm es

i(t) =

v(t)

R

Si la excitaci´on v(t) es una se˜nal cosenoidal, seg´un lo visto en el p´arrafo

anterior, esta

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