Conjuntos en el plano complejos
galileaa.shPráctica o problema2 de Junio de 2022
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CONJUNTOS EN EL PLANO COMPLEJO
Grafique en el plano complejo los siguientes conjuntos de puntos e indique sus propiedades (abierto, cerrado, acotado, conexo, etc.).
- [pic 1]
Este conjunto representa el interior de una circunferencia con centro en el punto [pic 2] y radio [pic 3], en efecto, considere el número complejo [pic 4], entonces [pic 5]
[pic 6]
[pic 7]
Entonces, el conjunto A esta formado por todos los puntos en el plano complejo cuya distancia a un punto fijo [pic 8] es menor que 2, (el interior de la circunferencia)
iy[pic 9][pic 10]
x
[pic 11]
Como [pic 12], entonces es un conjunto abierto, acotado y conexo, que también podríamos identificarlo como una Región.
- Considere [pic 13]
Este conjunto se puede interpretar como aquellos puntos en el plano complejo de tal forma que la suma de las distancias a dos puntos fijos es mayor o igual a 2, esto es: si [pic 14] y [pic 15] entonces [pic 16], esto es;
[pic 17]
iy
z[pic 18][pic 19]
[pic 20]
x[pic 21]
El conjunto A definido anteriormente es el exterior de una elipse con focos en los puntos
[pic 22], en efecto, considere [pic 23], entonces
[pic 24]
[pic 25]
En esta última desigualdad aparecen los términos [pic 26], [pic 27] que representan traslaciones, y el término [pic 28] el cual representa una rotación, consideremos primero la traslación, esto es, haciendo el cambio de coordenadas
[pic 29]
Entonces, se tiene
[pic 30]de esto último se tiene que:
[pic 31]
Resolviendo para a y b, se tiene que [pic 32] por lo tanto, el nuevo sistema es:
[pic 33]
Por otro lado, se tiene:
[pic 34]
Ahora, el término [pic 35] representa una rotación, entonces consideramos que
[pic 36]
Entonces
[pic 37]
[pic 38]
[pic 39][pic 40]
Observe que se trata de un conjunto cerrado, no acotado y conexo
- Sea [pic 41]
Como [pic 42], entonces
[pic 43]
Este conjunto está formado por dos semiplanos separados como en la siguiente figura[pic 44]
[pic 45][pic 46]
y[pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61]
y =1[pic 62]
x[pic 63]
[pic 64][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 80][pic 81][pic 82]
Se trata de un conjunto abierto ya que no contiene a sus fronteras que son las rectas [pic 83]
y [pic 84], es un conjunto no acotado y no conexo ya que es la unión de dos conjuntos disjuntos.
4.- Sea [pic 85]
Como [pic 86] entonces [pic 87], este conjunto está formado por una franja infinita cuyas fronteras son las rectas ,[pic 88]como la siguiente figura, observe que es un conjunto abierto de una sola pieza por lo tanto es conexo, además no es acotado.
[pic 89][pic 90][pic 91][pic 92]
[pic 93]
[pic 94]
[pic 95]
-1 1 x[pic 96][pic 97]
[pic 98]
5. Sea [pic 99]
Este conjunto está formado por el interior de una circunferencia con centro el punto [pic 100] y radio [pic 101], además se incluye su frontera y se le quita el centro, este conjunto también se conoce como un disco con su borde agujerado, tal como se muestra la siguiente figura, esto es si [pic 102], entonces
[pic 103]
se trata de un conjunto de puntos contenidos en el interior de una circunferencia con centro en (1,0) y radio 1, además se le quita el centro.
[pic 104]
y
[pic 105]
11 x[pic 106][pic 107][pic 108][pic 109]
[pic 110]
6.- Sea [pic 111]
Como [pic 112], entonces [pic 113] [pic 114] [pic 115]
[pic 116]
[pic 117]
2[pic 118][pic 119][pic 120][pic 121][pic 122][pic 123][pic 124][pic 125][pic 126]
[pic 127][pic 128][pic 129][pic 130][pic 131]
[pic 132]
-1 [pic 133][pic 134]
...