Conjuntos en el plano complejos

CONJUNTOS EN EL PLANO COMPLEJO

Grafique en el plano complejo los siguientes conjuntos de puntos e indique sus propiedades (abierto, cerrado, acotado, conexo, etc.).

1. [pic 1]

Este conjunto representa el interior de una circunferencia con centro en el punto [pic 2] y radio [pic 3], en efecto, considere el número complejo [pic 4], entonces  [pic 5]

                 [pic 6]

        [pic 7] 

Entonces, el conjunto  A esta formado por todos los puntos en el plano complejo cuya distancia  a un punto fijo [pic 8] es menor que 2, (el interior de la circunferencia)

        iy[pic 9][pic 10]

                              x

[pic 11]

Como [pic 12], entonces es un conjunto abierto, acotado y conexo, que también podríamos identificarlo  como una Región.

1. Considere   [pic 13] 

Este conjunto se puede interpretar como aquellos puntos en el plano complejo de tal forma que  la suma de las distancias a dos puntos fijos es mayor o igual a 2, esto es: si [pic 14] y  [pic 15]  entonces [pic 16], esto es;

        [pic 17]

        iy

         z[pic 18][pic 19]

[pic 20]

        x[pic 21]

El conjunto A definido anteriormente es el exterior de una elipse con focos en los puntos  

[pic 22], en efecto, considere [pic 23], entonces

[pic 24]

[pic 25]

En esta última desigualdad aparecen los términos [pic 26], [pic 27] que representan traslaciones, y el término [pic 28] el cual representa una rotación, consideremos primero la traslación, esto es, haciendo el cambio de coordenadas

        [pic 29]

 Entonces, se tiene

[pic 30]de esto último se tiene que:

        [pic 31]

Resolviendo para a  y b, se tiene que  [pic 32] por lo tanto, el nuevo sistema es:

[pic 33]

Por otro lado, se tiene:

[pic 34]

Ahora, el término  [pic 35] representa una rotación, entonces consideramos que

[pic 36]

Entonces

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39][pic 40]

Observe que se trata de un conjunto cerrado, no acotado y conexo

1. Sea    [pic 41] 

Como [pic 42], entonces

        [pic 43]

Este conjunto está formado por dos semiplanos separados como en la siguiente figura[pic 44]

[pic 45][pic 46]

                                                                y[pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61]

                                                          y  =1[pic 62]

        x[pic 63]

                                                                                                            [pic 64][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 80][pic 81][pic 82]

Se trata de un conjunto abierto ya que no contiene a sus fronteras  que son las rectas [pic 83]

y  [pic 84], es un conjunto no acotado y no conexo ya que es la unión de dos conjuntos disjuntos.

4.- Sea  [pic 85]

Como [pic 86] entonces  [pic 87], este conjunto está formado por una franja infinita cuyas fronteras son las rectas         ,[pic 88]como la siguiente figura, observe que es un conjunto abierto de una sola pieza por lo tanto es conexo, además no es acotado.

 [pic 89][pic 90][pic 91][pic 92]

[pic 93]

[pic 94]

                                                                  [pic 95]

                    -1                           1          x[pic 96][pic 97]

[pic 98]

5. Sea   [pic 99]

Este conjunto está formado por el interior de una circunferencia con centro el punto [pic 100] y radio [pic 101], además se incluye su frontera y se le quita el centro, este conjunto también se conoce como un disco con su borde agujerado, tal como se muestra la siguiente figura, esto es si  [pic 102], entonces  

        [pic 103]

se trata de un conjunto de puntos contenidos en el interior de una circunferencia con centro en (1,0) y radio 1, además se le quita el centro.

[pic 104]

...