Conjuntos

Conjuntos

Este  cap´ıtulo  es  de  car´acter  introductorio.   Es  importante  sen˜alar  que  la  teor´ıa  de conjuntos es una rama de las matem´aticas muy rica y extensa sobre la cual descanzan los pilares de la matem´atica misma.

De  manera  axiom´atica  es  posible  definir  los  conceptos  de  conjunto,  elemento  y pertenencia, sin embargo, para fines de este curso, es suficiente considerar como primitivos dichos conceptos y manejarlos en la forma intuitiva usual.

Definimos  un  conjunto  como  una  colecci´on  de  elementos  u  objetos  especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupaci´on.  Un conjunto se describe normalmente listando sus elementos de manera expl´ıcita, o especificando una propiedad que determina a sus elementos.

Al  conjunto  que  no  tiene  elementos  lo  llamaremos  conjunto  vac´ıo  y  se  denotar´a por ∅.

En general, usaremos letras mayu´sculas A, B, C, etc., para representar conjuntos y minu´sculas a, b, c, etc., para representar a los elementos.

Para especificar los elementos de un conjunto usaremos la escritura de llaves, por ejemplo, si A es el conjunto que consta de las letras a, b y c, escribiremos,

A = {a, b, c}.

Caracter´ısticas cualitativas de un conjunto:

• El orden en que aparecen los elementos de un conjunto es irrelevante,

{a, b, c} = {b, c, a} = {c, a, b},

• No se escribe el mismo elemento varias veces,

{a, b, c, b, c} = {a, b, c}

Para denotar que un elemento x pertenece a un  conjunto A escribimos,  x ∈ A. Si un elemento x no pertence a A escribimos, x /∈ A.

Algunos conjuntos importantes en matem´aticas, son:

• Los  nu´meros  naturales, denotados por N,

N = {1, 2, 3, 4, 5, . . . }.

• Los  nu´meros  enteros, denotados por Z,

Z = {0, ±1, ±2,  ±3, . . . } .

• Los  nu´meros  racionales, denotados por Q,[pic 1]

Q =        a b[pic 2]

• Los  nu´meros  reales, denotados R.

a, b ∈ Z, b /= 0, .

• Los  nu´meros  complejos, denotados por C,

C = {x + iy | x, y ∈ R, i2 = −1}.

• Si a, b ∈ R, con a < b,

• El intervalo cerrado, [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}.
• El intervalo abierto, (a, b) = {x ∈ R | a < x < b}.
• El intervalo semi-abierto, (a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}.
• El intervalo semi-abierto, [a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}.

Ya que tambi´en podemos describir conjuntos por medio de condiciones, por ejem- plo, si

podemos escribir,

A = {1, 3, 5, 7, 9},

A = {n ∈ N | n es impar y n < 10},

y se lee:  A es el conjunto de nu´meros naturales tales que son impares y menores que 10.

Ejercicio (0.0.1). Describa mediante condiciones los siguientes conjuntos:

1. A = {2, 4, 6, 8, 10}.

2.  B = {11, 12, 13, 14, . . . }.

3.  C = {2, 6, 10, 14, 18, 22, . . . }.

4. D = {1, 4, 9, 16, 25, 36, . . . }.

Subconjuntos

Sean A y B dos conjuntos, decimos que:

• A es un subconjunto de B, y se escribe A ⊆ B, si y solo si todos los elementos de  A  pertenecen  a  B.   Si  A  ⊆ B,  tambi´en  se  dice  que  B  contiene  a  A,  y  se escribe B ⊇ A.
• A no es un subconjunto de B, o que B no contiene a A, si existe a ∈ A tal que

a /∈ B, y se escribe A /⊆ B.

• A es igual a B, y se escribe A = B, si y solo si A ⊆ B y B ⊆ A.

• Si A ⊆ B pero A

escribe A ⊂ B.

B, diremos que A es un subconjunto propio de B y se

Ejemplo   (0.0.2).        1. Sea A el conjunto de mujeres y B el conjunto de seres hu- manos.  Entonces A ⊆ B, m´as au´n, A ⊂ B.

1. Sea A el conjunto de seres del reino animal y B el conjunto de seres del reino vegetal. Entonces A /⊆ B y B /⊆ A.
2. Sea A = {n ∈ Z | n es par} y B = {n ∈ Z | n es multiplo de 4}. Entonces

B ⊆ A.

1. Sea A = {n ∈ N | 1 < n < 14, n impar} y B = {n ∈ N | n ≤ 13, n es primo}.

¿ A ⊆ B o B ⊆ A?.

5. Sea A = {n ∈ N | n ≤ 10}, B = {1, 3, 5, 7} y C = {2, 4, 8}.  Entonces B ⊆ A, C ⊆ A, B /⊆ C, C /⊆ B, A /⊆ B y A /⊆ C.

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