Contenidos: Programa analítico. Unidad 1: Funciones Vectoriales. - Funciones vectoriales [pic 3][pic 4]: D ⊂ [pic 5][pic 6] →[pic 7][pic 8] y funciones componentes.
- Curvas en el plano y en el espacio.
- Límite y continuidad de una función vectorial.
- Derivada de una función vectorial y reglas de derivación.
- Vector tangente. Curva suave y suave en secciones.
- Integrales de funciones vectoriales.
- Longitud de arco y función longitud de arco.
- Aplicaciones a la geometría: vectores tangente normal y binormal; recta tangente, plano normal, plano osculante y círculo osculante.
- Aplicaciones a la dinámica: velocidad y aceleraciones tangencial y normal.
Unidad 2: Funciones De Varias Variables. - Función de dos variables [pic 9][pic 10]: D ⊂[pic 11][pic 12] →[pic 13][pic 14]. Representación gráfica: superficie y mapa de contorno.
- Función de tres variables [pic 15][pic 16]: D ⊂[pic 17][pic 18]→[pic 19][pic 20]. Superficie de nivel.
- Función de n variables [pic 21][pic 22]: D ⊂[pic 23][pic 24]→[pic 25][pic 26].
- Límite y continuidad de funciones de dos y de tres variables.
- Derivadas parciales.
- Derivadas de orden superior.
- Teorema de Clairaut.
- Ecuación diferencial en derivadas parciales.
- Planos tangentes y aproximaciones lineales.
- Diferenciales y la diferencial total.
- Función diferenciable. Condición suficiente. Aplicaciones.
- Regla de la cadena.
- Derivación implícita.
- Derivada direccional.
- Vector gradiente. Aplicaciones del gradiente: máximo valor de la derivada direccional, plano tangente y recta normal a superficies de nivel.
- Máximos y mínimos locales.
- Condición necesaria y condición suficiente para la existencia de extremos locales de una función derivable de dos variables. Punto crítico y punto de silla.
- Máximos y mínimos absolutos. Teorema de los valores extremos para funciones de dos variables en regiones cerradas y acotadas.
- Aplicaciones a la ingeniería y economía.
Unidad 3: Integrales Múltiples. Integrales Dobles - Doble suma de Riemann.
- Integral doble: Definición sobre un rectángulo. Función integrable. Propiedades.
- Integral iterada.
- Teorema de Fubini.
- Integral doble sobre regiones x-simples; y-simples y regiones generales.
- Propiedades de las integrales dobles.
- Integral doble en coordenadas polares.
- Aplicaciones de la integral doble a la geometría: volumen de un sólido; área de una superficie plana. Aplicación a la probabilidad: función densidad de probabilidad y valor esperado. Aplicaciones de la integral doble a la ingeniería: masa, momentos estáticos, centro de masa, momentos de inercias y radio de giro de láminas, carga eléctrica en una lámina, etc.
Integrales Triples. - Triple suma de Riemann.
- Integral triple: Definición sobre un prisma. Función integrable. Propiedades.
- Teorema de Fubini para las integrales triples.
- Integral triple sobre regiones generales acotadas.
- Integral triple en coordenadas cilíndricas y esféricas.
- Aplicaciones de la integral triple a la geometría: volumen de un sólido. Aplicaciones a la ingeniería: masa, momentos estáticos respecto de planos, centro de masa, momentos de inercias y radio de giro, etc.
- Transformación de coordenadas. Jacobiano de una transformación. Cambio de variables en integrales dobles y triples.
Unidad 4: Cálculo Vectorial. Campos Vectoriales sobre [pic 27][pic 28] y [pic 29] . - Campo vectorial [pic 30][pic 31] D⊂ [pic 32][pic 33] →[pic 34][pic 35] ; n={2,3} y Funciones componentes.
- Representación de campos vectoriales.
- Continuidad de un campo vectorial.
- Divergencia y Rotacional de un Campo Vectorial.
- Campos Gradientes.
- Identidades Vectoriales
Integral de línea. - Integral de línea de campos escalares en [pic 36][pic 37] y [pic 38][pic 39]. Propiedades.
- Aplicaciones de la integral de línea de un campo escalar: masa, centro de masa y longitud de una alambre, superficie lateral de sólidos.
- Integral de línea de campos vectoriales en en [pic 40][pic 41] y [pic 42][pic 43]. Propiedades
- Aplicaciones a la física de la integral de línea de campos vectoriales: trabajo realizado por un campo de fuerzas.
- Teorema de Green para regiones simples y generalización para regiones no simples.
- Aplicación de la integral de línea al cálculo de área de regiones, trabajo de campos de fuerzas, etc.
- Independencia del Camino.
- Teorema fundamental de las integrales de líneas.
- Campos Gradientes. Función potencial.
- Criterio para la determinación de campo vectorial conservativo sobre [pic 44][pic 45] y [pic 46][pic 47].
- Aplicaciones a la física: conservación de la energía.
Integrales de superficies. - Integral de superficie de un campo escalar.
- Aplicaciones: área de superficies, masa y centro de masa de láminas.
- Superficie orientada e Integral de superficie de campos vectoriales.
- Aplicaciones de las integrales de superficie: Ley de Gauss, flujo de calor y conductividad.
- Teorema de la divergencia de Gauss e interpretación física de la divergencia.
- Teorema de Stokes e interpretación física del rotacional.
Unidad 5: Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones diferenciales ordinarias - Ecuaciones diferenciales ordinaria y parcial.
- Solución general, particular y singular de ecuaciones diferenciales.
- Ecuaciones diferenciales de primer orden: métodos de resolución para ecuaciones de variables separables, homogéneas, exactas, lineales, con factor integrante.
- Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden: trayectorias ortogonales, campo direccional, líneas de flujos, circuitos eléctricos, ecuación de Abel, ecuación de Bernoulli, etc.
- Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden n con coeficientes constantes: solución de ecuación homogénea y de una no homogénea: métodos de variación de los parámetros y coeficientes indeterminados.
- Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias: movimiento de un proyectil con y sin fuerzas de rozamiento, movimiento armónico simple, movimiento vibratorio amortiguado y forzado, circuitos eléctricos, enfriamientos, mezclas químicas, etc.
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. - Sistemas homogéneos y no homogéneos.
- Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden por método de reducción a una ecuación diferencial de orden superior.
- Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden usando la matriz exponencial.
- Teoría cualitativa: puntos de equilibrio, estabilidad de sistemas lineales
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Bibliografía: a) Básica: - Stewart, James: “Cálculo Multivariable” 6º edición . International Thomson Editores. México. Cantidad de ejemplares en biblioteca: 13 y 5 respectivamente.
- Apuntes y guías de la cátedra. Campos vectoriales: autor Pampiglioni.
- Ecuaciones Diferenciales: autor Pastorelli.
b) Complementaria: - Zill, Dennis. “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones”. 6ª Edición. Internacional Thomson Editores. Madrid. 1987. Cantidad de ejemplares en biblioteca: 3
- Marsden-Tromba. Cálculo Vectorial. 3º edición (1991) o 4º edición (1998). Addison-Wesley Iberoamericana. México. 1991. Cantidad de ejemplares en biblioteca: 2 y 2 respectivamente.
- Larson-Hosteller–Edwards. Cálculo y geometría analítica. Tomo 2. . 3º edición (1991). McGraw-Hill. Madrid. Cantidad de ejemplares en biblioteca: 17
- Kreyszig, Erwin. Matemática avanzada para ingeniería. Tomos 1 y 2. Ediciones: 1969-1976-1990- Editorial Limusa-Wiley. México. Cantidad de ejemplares de cada tomo en biblioteca: 8, 3 y 5 respectivamente.
- Spiegel, Murray. Ecuaciones diferenciales aplicadas. 3ª edición. Prentice–Hall. México. 1987. Cantidad de ejemplares en biblioteca: 1.
- Ayres, F: Teoría y Problemas de Ecuaciones Diferenciales. 1952 y 1973. Serie Schaum. Mc Graw-Hill. Madrid. Cantidad de ejemplares en biblioteca: 1 y 8 respectivamente.
- Hsu, Hwei. Análisis de Fourier. Fondo educativo interamericano S.A. Colombia. 1973. Cantidad de ejemplares en biblioteca: 2.
- Salas –Hille. “Calculus” Tomo 1 y 2. Ediciones 1988 y 1999. Editorial Reverté. Cantidad de ejemplares de cada tomo en biblioteca: 1 y 1 respectivamente.
- Derrick- Grossman, “Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones” – Fondo Educativo-1984. Cantidad de ejemplares en biblioteca: 1
- Apóstol, Tom. “Calculus” Tomo 1 (Ediciones 1965 y 1999.) y Tomo 2 (Ediciones 1967 y 2001). Editorial Reverté. Cantidad de ejemplares de cada tomo en biblioteca: 3 y 1 respectivamente.
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