Cuadro comparativo de distribuciones de probabilidad binomial y poisoon

Cuadro comparativo de distribuciones de probabilidad binomial y poisoon

Probabilidad binomial

Probabilidad poisoon

Definición

Una distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que describe el número de éxitos al realizar un experimentos independientes entre sí, con relación a una variable aleatoria

La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta y se emplea para describir procesos que pueden ser descritos con una variable aleatoria discreta.

Propiedades

Para que una variable aleatoria se considere que sigue una distribución binomial, tiene que cumplir las siguientes propiedades:

• Que en cada ensayo, experimento o prueba solo son posibles dos resultados (éxito o fracaso).
• La probabilidad del éxito ha de ser constante. Esta se representa mediante la letra p. La probabilidad de que salga cara al alzar una moneda es 0.5 y esta es constante dado que la moneda no cambia en cada experimento y las probabilidades de sacar cara son constantes.
• La probabilidad de fracaso ha de ser también constante. Esta se representa mediante la letra q=1-q. Es importante fijarse que mediante esa ecuación, sabiendo p o sabiendo q, podemos obtener la que nos falte.
• El resultado obtenido en cada experimento es independiente del anterior. Por lo tanto, lo que ocurra en cada experimento no afecta a los siguientes.
• Los sucesos son mutuamente excluyentes, es decir, no pueden ocurrir los 2 al mismo tiempo. No se puede ser hombre y mujer al mismo tiempo o que al lanzar una moneda salga cara y cruz al mismo tiempo.
• Los sucesos son colectivamente exhautivos, es decir, al menos uno de los 2 ha de ocurrir. Si no se es hombre, se es mujer y, si se lanza una moneda, si no sale cara ha de salir cruz.
• La variable aleatoria que sigue una distribución binomial se suele representar como X~(n,p), donde n representa el número de ensayos o experimentos y p la probabilidad de éxito.

Para que una variable sea una probabilidad distributiva de poisson debe cumplen con las siguientes propiedades:

• El campo de variación de la variable, al tratarse de un modelo discreto, es el conjunto de los números naturales, incluido también el cero.
• Sea x el número de veces que se repite el evento estudiado, y ʎ un número positivo que nos indica el número de veces que se repite dicho evento durante un intervalo de tiempo o espacio dado; donde ʎ será nuestro parámetro. Entonces, la función de probabilidad de la distribución de Poisson es:
• El valor de la media o esperanza y el de la varianza coinciden y son iguales al parámetro ʎ: E[x]=Var[x]= λ.
• La función de distribución es: [pic 1]
• La función generatriz es:

[pic 2]

• La función generatriz es:

[pic 3]

• La distribución de Poisson cumple la propiedad reproductiva, es decir, podemos sumar dos distribuciones de Poisson de parámetro ʎ1 y ʎ2 respectivamente, de tal forma que obtenemos una distribución de Poisson cuyo parámetro será igual a la suma de los anteriores:ʎ1+ʎ2.

Formula

La fórmula para calcular la distribución normal es:

[pic 4]

Donde:

N:número de ensayos o experimentos.

X: Numero de éxitos.

P:probabilidad de éxito.

Q:Probabilidad de fracaso (1-p)

Poisson se calcula mediante la fórmula:

P(x) = l x * e-l / x!

l x = Lambda
(número medio de ocurrencias por intervalo de tiempo) elevada a la potencia x.

e-l = e= 2.71828 elevado a la potencia de lambda negativa.

x! = x factorial.

Ejemplo

Imaginemos que un 80% de personas en el mundo han asistido a una conferencia de normas internacionales de contabilidad. Tras el evento, 4 amigos se reúnen a conversar, ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellos hayan asistido a la conferencia?

Definamos las variables del experimento:

n    = 4 (es el total de la muestra que tenemos)

x    = número de éxitos, que en este caso es igual a 3, dado que buscamos la probabilidad de que 3 de los 4 amigos lo hayan asistido.

p    = probabilidad de éxito (0,8)

q    = probabilidad de fracaso (0,2). Este resultado se obtiene al restar 1-p.

Tras definir todas nuestras variables, simplemente sustituimos en la formula.

[pic 5]

El numerador del factorial se obtendría de multiplicar 4*3*2*1 = 24 y en el denominador tendríamos 3*2*1*1 = 6. Por lo tanto, el resultado del factorial sería 24/6=4.
Fuera del corchete tenemos dos números. El primero sería 0,8^3=0,512 y el segundo 0,2 (dado que 4-3 = 1 y cualquier número elevado a 1 es el mismo).

Por tanto, nuestro resultado final sería: 4*0,512*0,2 = 0,4096. Si multiplicamos por 100 tenemos que hay una probabilidad del 40,96% de que 3 de los 4 amigos hayan asistido.

1. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

Solución:

a)      x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.

l = 6 cheques sin fondo por día

e = 2.718

                           [pic 6]

b)

x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc.

l = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que  llegan al banco en dos días consecutivos

Nota: l siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra forma, debe “hablar” de lo mismo que x.

                         [pic 7]