Cálculo 2

CONSOLIDADO DESARROLLO DEL TRABAJO COLABORATIVO

CALCULO III

INTEGRANTES:

MARILYN JULIETH ZAMBRANO NIÑO CÓDIGO: 1821982050

YENIFER KATERINE RAMÍREZ RIVEROS CÓDIGO: 1821983210

NATHALY ROA GALICIA CÓDIGO:

MANUELA CRISTINA PERALTA JIMÉNEZ CÓDIGO:

SUBGRUPO 31

AKIYAMA FIGUEROA MINORU ENRIQUE

TUTOR

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO

FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BASICAS

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS

BOGOTÁ

2019

INTRODUCCIÓN

Una espiral logarítmica, espiral equiangular o espiral de crecimiento es la curva definida por un objeto que se mueve con velocidad lineal constante y velocidad angular. Este tipo de espiral es el que más podemos observar en la naturaleza, en el reino vegetal y animal (conchas de moluscos, telas de arañas, girasoles, etc.), en las formas de las galaxias. Es también usado en el arte desde épocas prehistóricas.ESPIRAL.png

Aparece por primera vez en un escrito de Descartes, en 1638, aunque fue bautizada así por Jakob Bernoulli, en un trabajo suyo donde fascinado por la belleza de esta curva la llama "Spira Mirabilis" (la espiral maravillosa), tanto le gustó que la hizo grabar en su tumba, pero en vez de poner el dibujo de la espiral logarítmica, pusieron el dibujo de la espiral de Arquímedes. Bernoulli escribió que la espiral logarítmica puede ser utilizada como un símbolo, bien de fortaleza y constancia en la adversidad, o bien como símbolo del cuerpo humano, el cual será restaurado a su Ser perfecto y exacto. Torricelli estudio sistemáticamente las propiedades fundamentales de la espiral logarítmica (llamada por él geométrica), el trazado de cada uno de sus arcos y la cuadratura de la superficie limitada por la curva.

Es por esta razón que mediante la elaboración del siguiente trabajo se puso en práctica  la interpretación analítica  y geométrica de las propiedades de la spira Mirabilis, para tener una noción más clara de las espirales, al analizarlas con expresiones matemáticas.

OBJETIVOS

Objetivo General

• Realizar un trabajo grupal desarrollando cada uno de los ejercicios del trabajo colaborativo, con el fin de aplicar conceptos básicos de espiral interpretando analítica y geométricamente.

Objetivos Específicos.

• Participar con aportes significativos en el foro colaborativo de grupo.
• Cumplir una guía de actividad y rúbrica a cabalidad.
• Integrarnos en grupo para retroalimentarnos y autoevaluarnos constructivamente.
• Realizar la actividad a cabalidad para lograr una buena nota, que nos permita continuar nuestro camino hacia la meta fijada.
• Adquirir el conocimiento necesario y elemental sobre espiral interpretando analítica y geométricamente.

EJERCICIO

La espiral logarítmica, llamada la Spira Mirabilis o Eadem Mutata Resugno es una curva paramétrica de la forma:

‖c(𝑡)‖ es ‖𝑐(𝑡)‖ = 𝑎𝑒bt

Donde a y b son números reales positivos.

[pic 2]

Se quiere estudiar una propiedad geométrica de la espiral logarítmica que involucra el ángulo entre su línea radial y su línea tangencial. Efectúe los siguientes cálculos para comprobar las siguientes propiedades:

1. Muestre que la magnitud de la curva, [pic 3]

Solución:

Calculamos: [pic 4]

Aplicamos:

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

Utilizamos la identidad pitagórica:

[pic 8]

[pic 9]

1. Muestre que el vector tangente a la curva es:

𝒄´(𝒕) = (𝑎𝑒𝑏𝑡 (𝑏 𝑐𝑜𝑠(𝑡) − 𝑠𝑖𝑛(𝑡))) 𝒊 + (𝑎𝑒𝑏𝑡 (𝑏 𝑠𝑖𝑛(𝑡) + 𝑐𝑜𝑠(𝑡))) 𝒋

Solución:

El vector tangente a la curva está dado por:

[pic 10]

Entonces:

[pic 11]

Debido a que α es una constante, puede salir de la derivada:

[pic 12]

Cuya derivada son derivadas de un producto en donde

[pic 13]

Entonces:

[pic 14]

c´(𝒕) = (𝑎(𝑐𝑜𝑠(𝑡)𝑏𝑒𝑏𝑡 − 𝑒𝑏𝑡𝑠𝑖𝑛(𝑡)), 𝑎(𝑠𝑖𝑛(𝑡)𝑏𝑒𝑏𝑡 + 𝑒𝑏𝑡𝑐𝑜𝑠(𝑡))

Aplicando factor común en cada componente se obtiene:

𝒄´(𝒕) = (𝑎𝑒𝑏𝑡(𝑐𝑜𝑠(𝑡)𝑏 − 𝑠𝑖𝑛(𝑡)), 𝑎𝑒𝑏𝑡(𝑠𝑖𝑛(𝑡)𝑏 + +𝑐𝑜𝑠(𝑡)))

Aplicamos los términos de i y j se obtiene:

𝒄´(𝒕) = (𝑎𝑒𝑏𝑡(𝑐𝑜𝑠(𝑡)𝑏 − 𝑠𝑖𝑛(𝑡))) 𝒊 + (𝑎𝑒𝑏𝑡(𝑠𝑖𝑛(𝑡)𝑏 + 𝑐𝑜𝑠(𝑡))) 𝒋

1. De una breve reseña sobre la Spira Mirabilis (10 Renglones máximo)

Solución:

[pic 15]

Imagen 1.Espiales de la naturaleza

Las espirales son curvas que tienen una presencia importante en la naturaleza, así podemos encontrarlas en las conchas de caracoles, en las galaxias, en las telarañas, en el arte, en joyas, en juegos como la Oca, en la arquitectura, etc., y que a los humanos nos ha dado por llamar espiral. Etimológicamente esta palabra procede de la palabra griega Spira que indica una línea que se enrolla a modo de caracol. En la historia hubo varios personajes que se interesaron por esta sorprendente curva hasta el punto de pedir que se grabase en su lápida, este fue el caso de Bernoulli, uno de los científicos que han aportado algunas cosillas a la ciencia, este científico no fue el único que la estudió, hubo otros ilustres como fueron Descartes, Durero, Euler, Fermat, Torricelli y por supuesto Arquímedes, se dice que Arquímedes murió en manos de un soldado romano mientras dibujaba una de sus espirales.

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