Cálculo: La derivada

UNIDAD IV.  LA DERIVADA

1. Definición de límite

1.1 ¿Qué hemos visto hasta aquí?

Hasta aquí, hemos estudiado el cambio, el cual es la diferencia entre un estado de inicio y uno final. Este cambio puede ser absoluto porque solo cambia en sí mismo de manera vertical u horizontal,  y puede ser también relativo cuando se relación ambos cambios absolutos. También se vio que el elemento geométrico que representa es la línea ya que ella contiene la sucesión de cambios infinita. Esta línea recta puede ser apreciada a través del concepto de “pendiente (m)” que permite observar el grado de inclinación del cambio relativo para determinar el grado de cambio, ya sea lento o rápido; negativo o positivo. Además se aprendió a determinar su ecuación o nombre” con diferentes métodos para determinar su configuración gráfica, observar su comportamiento en el espacio y predecir movimientos en el futuro.

        Enseguida, se estudió el tema de las funciones que demuestra la correspondencia intrínseca que hay entre los elementos de los miembros de dos conjuntos distintos y que la unión de todas esas relaciones infinitivas se le denomina función. Se aprendió que estas funciones pueden lineales, cuadráticas y cúbicas, las cuales pueden ser tabuladas y graficadas. Cada función representa un funcionamiento particular de un comportamiento de un acontecimiento particular de la vida cotidiana.

Ahora, se puede observar que a través de las funciones existen infinidad de cambios, si se preguntara ¿qué distancia existe entre un punto de origen y uno final? Existe una interminable sucesión de cambios, situación que se relaciona con los conceptos: infinito y aproximación. Ambos conceptos se representan en el concepto de límite. Curiosamente este concepto para que se contradice sobre todo con el concepto infinito. Pero no es así, la noción de interminable representa la infinidad de cambios posibles que se aproximan a algo, pero que nunca se podrá llegar porque todavía habrá infinidad de pequeñísimos cambios entre la posición actual y a la que pretendo o tiendo a llegar. Pero por el momento, se estudiará esta noción de límite.

1.2 Conceptos de infinito y aproximación

1.2.1 Infinito

Si se entiende como infinito el concepto opuesto al dado por la Real Academia Española se debe entender que infinito es todo aquello que no tiene fin, término ni límite.

        El concepto de infinito (símbolo: ∞) aparece en varias ramas de la matemática, la filosofía y la astronomía, en referencia a una cantidad sin límite o final, contrapuesto al concepto de finitud. (Ver figura 4.1)

        El desarrollo del cálculo infinitesimal en el siglo XVII ocasionó un avance muy importante en relación al infinito matemático. Los fundadores del cálculo entendieron al mismo como el cálculo de infinitos, o de números infinitamente grandes e infinitamente pequeños, estableciendo de esta manera que el cálculo se

ocupa de manipular infinitudes. (Palermo.edu, 2015)

1.2.2 Aproximación

En la figura 4.2 se pueden observar dos árboles. Según la distancia marcada entre los dos árboles es 12 m. Pero, ¿en realidad son 12 metros? Hay que observar con cuidado.

Si tuviéramos un rayo laser puede ser que en realidad la lectura fuera:

        Por lo tanto la tendencia es hacia 12 m. Desentendiendo de la precisión del aparato de medición se puede obtener una medida que se aproxime a un valor ideal, que en este caso puede ser 12.

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