DINAMICA DE ROTACION

F´?sica I. Curso 2010/11

Departamento de F´?sica Aplicada. ETSII de B´ejar. Universidad de Salamanca

Profs. Alejandro Medina Dom´?nguez y Jesu´s Ovejero S´anchez

Tema 5. Dina´mica de la rotacio´n

´Indice

1. Cuerpo r´?gido, traslaci´on y rotacion 3

2. Energ´?a cin´etica rotacional. Momento de inercia 3

3. C´alculo de momentos de inercia 5

3.1. Sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2. Sistemas continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3. Teorema de los ejes paralelos (Steiner) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4. Momento angular 9

5. Segunda ley de Newton para la rotacion 11

5.1. Part´?cula u´nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.2. Sistemas de part´?culas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6. Conservaci´on del momento angular y sus aplicaciones 15

7. Analog´?as entre las ecuaciones de la traslaci´on y la rotacion 17

8. Problemas 18

Tema 5. Dinamica de la rotacion 2

DINAMICA DE ROTACIÓN.

Cuando un objeto real gira alrededor de algún eje, su movimiento no se puede analizar como si fuera una partícula, porque en cualquier instante, diferentes

partes del cuerpo tienen velocidades y aceleraciones distintas. Por esto es con-veniente considerar al objeto real como un gran número de partículas, cada una con su propia velocidad, aceleración.El análisis se simplifica si se consi-dera al objeto real como un cuerpo rígido.

Tema 5. Dinamica de la rotacion 3

1. Cuerpo r´?gido, traslacion y rotaci´on

En los temas anteriores hemos estudiado u´nicamente movimientos de traslacion para part´?cu- las y sistemas de part´?culas. Hemos definido el centro de masas como aquel punto que se com- porta como si todas las fuerzas que actu´an sobre el sistema se concentraran en ´el. El movimiento de un cuerpo extenso se puede describir en t´erminos del movimiento traslacional de su centro de masas y del movimiento de los puntos del sistema respecto al centro de masas (por ejemplo, respecto a un eje que pasa por ´el). Para completar, por lo tanto, el estudio del movimiento de un cuerpo extenso nos falta estudiar esta u´ltima parte. Veremos que el estudio de este tipo de movimiento rotacional es an´alogo al traslacional, pero introduciendo nuevas magnitudes f´?sicas que siempre tienen su equivalente lineal. Por ejemplo, si la ecuaci´on de movimiento del centro de masas de un cuerpo relaciona aceleracion con fuerzas externas, la de la rotaci´on, como veremos, relaciona otro tipo de aceleraci´on (angular ) con el momento de las fuerzas aplicadas.

La principal hipotesis simplificadora en el estudio de movimientos rotacionales suele ser la

consideracion del objeto a estudiar como un cuerpo r´?gido.

E´ ste es aquel sistema en que la

distancia entre dos puntos cualquiera no var´?a con el tiempo. Es un sistema que no se deforma. Consideraremos que un cuerpo r´?gido describe un movimiento de rotacion cuando cada una de sus part´?culas (salvo las que estan sobre el eje) realiza un movimiento circular.

El movimiento m´as general de un cuerpo r´?gido tiene lugar cuando el eje de rotaci´on cambia de direccion al mismo tiempo que se traslada. Esto sucede, por ejemplo, en un pase de fu´tbol con efecto: el eje no s´olo cambia de posicion en el tiempo, sino que tambi´en var´?a su orientaci´on. En este tema restringiremos nuestra discusi´on a la rotaci´on de un cuerpo r´?gido respecto a un eje que no cambia de orientacion.

2. Energ´?a cin´etica rotacional. Momento de inercia

Consideremos un s´olido r´?gido rotando con velocidad angular ?, tal y como muestra la figura.

Tema 5. Dinamica de la rotacion 4

z

?

vi

i ri

O

x

y

Su energ´?a cin´etica se puede expresar como la suma de las energ´?as cin´eticas de todos los

puntos que lo componen:

n 1 1 n

Ec = X mi v2 =

X mi r2?2.

2 i 2 i i i

Como ? es igual para todos los puntos:

1 X

Ec = 2

i

!

mi r2

?2.

Si denominamos I a la magnitud Xmi r2 , obtenemos una ecuacion para la energ´?a cin´etica de

i

la rotacion similar a la de la traslacion:

E = 1 I ?2 .

c 2

La magnitud I se denomina momento de inercia del sistema y como iremos comprobando en este tema constituye de algu´n modo, la magnitud equivalente en dinamica de la rotacion a la masa en din´amica de la traslaci´on. Sus dimensiones y sus unidades en el Sistema Internacional son respectivamente: [I ] = M L2 y kg.m2.

Conviene resaltar que en esta definicion, las distancias que aparecen son las distancias de cada masa del sistema al eje de giro (¡no al origen de coordenadas!), luego el momento de inercia depende del eje de giro elegido. No es una propiedad inherente al sistema, sino que tambi´en depende de cual es el eje de giro.

Tema 5. Dinamica de la rotacion 5

3. C´alculo de momentos de inercia

3.1. Sistemas discretos

3.1 Ejemplo

Calcu´lese el momento de inercia de la siguiente distribucion de 8 masas id´enticas respecto a los dos ejes que se muestran en la figura:

z

m

z

a r

a a

z

...