Dinamica Rotacional

DINÁMICA DE ROTACIÓN

OBJETIVO TEMÁTICO

Analizar el movimiento de un cuerpo rígido y aplicar conceptos de dinámica y energía en una Rueda de Maxwell en traslación y rotación.

OBJETIVO ESPECÍFICO

. Encontrar experimentalmente la relación entre la energía potencial y la energía cinética de traslación y rotación de un cuerpo que inicia su movimiento partiendo del reposo sobre un plano inclinado constituido por dos ejes. El movimiento es por rodadura y por consiguiente una de las componentes energéticas del modelo matemático será rotacional, cuyo momento de inercia respe4cto al eje de giro se calculará indirectamente.

Calcular de manera directa los valores de los momentos de inercia de cada componente, sumándolos y comparándolos con el resultado anterior.

FUNDAMENTO TEÓRICO

MOMENTO DE INERCIA

Es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido. El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular.

Para una masa puntual y un eje arbitrario, el momento de inercia es:

I=mr^2

Donde m es la masa del punto, y r es la distancia al eje de rotación.

Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:

I= ∑▒〖m_i 〖r_i〗^2 〗

Para un cuerpo de masa continua se generaliza como:

Figura 1. Momento de inercia

El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo.

Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton: a = F/m tiene como equivalente para la rotación:

τ = Iα

Dónde:

“τ” es el momento aplicado al cuerpo.

“I”es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y

α= (d^2 θ)/(dt^2 ) es la aceleración angular.

La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es 1/2 mv^2, mientras que la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es1/2 Iω^2, donde I es el momento de inercia con respecto al eje de rotación.

La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular :

L ⃗=I ⃗

El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector velocidad angular . Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje.

TEOREMA DE STEINER O TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS

Establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

I_eje= I_eje^((CM))+ Mh^2

dónde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I(CM)eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M - Masa Total y h - Distancia entre los dos ejes paralelos considerados.

MOMENTO DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE MASAS PUNTUALES

Tenemos que calcular la cantidad

I= ∑▒x_i^2 m_i

Donde xi es la distancia de la partícula de masa mí al eje de rotación.

MOMENTO DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE MASA

Pasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución continua de masa. La fórmula que tenemos que aplicar es

I= ∫▒〖x^2 dm〗

dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación.

ECUACIÓN DE LA DINÁMICA DE ROTACIÓN

Consideremos un sistema de partículas. Sobre cada partícula actúan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema. Supongamos un sistema formado por dos partículas. Sobre la partícula 1 actúa la fuerza exterior F1 y la fuerza que ejerce la partícula 2, F12. Sobre la partícula 2 actúa la fuerza exterior F2 y la fuerza que ejerce la partícula 1, F21.

Por ejemplo, si el sistema de partículas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores serían las que ejerce el Sol (y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores serían la atracción mutua entre estos dos cuerpos celestes.

Para cada una de las partículas se cumple que la variación del momento angular con el tiempo es igual al momento de la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula considerada.

Figura 2. Fuerzas resultantes sobre partículas

Sumando miembro a miembro, aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial, y teniendo en cuanta la tercera Ley de Newton, F12=-F21, tenemos que:

Como los vectores r1-r2 y F12 son paralelos su producto vectorial es cero. Por lo que nos queda:

La derivada del momento angular total del sistema de partículas con respecto del tiempo es igual al momento de las fuerzas exteriores que actúan sobre las partículas del sistema.

Consideremos ahora que el sistema de partículas es un sólido rígido que está girando alrededor de un eje principal de inercia, entonces el momento angular L=I·, la ecuación anterior la escribimos

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