Dinamica De Rotacion

OBJETIVO:

Observar experimentalmente el movimiento de rotación y a partir de las mediciones efectuadas, hallar el momento de inercia de la rueda con respecto al eje perpendicular que pasa por su centro de gravedad y comparar con el momento de inercia hallado a partir de la conservación de energía.

EQUIPOS Y MATERIALES:

Un par de rieles paralelos (como plano inclinado).

Una rueda de Maxwell.

Un cronómetro.

Un pie de rey.

Una regla milimetrada.

Una balanza.

Un nivel.

FUNDAMENTO TEÓRICO:

La energía cinética de traslación de un cuerpo rígido está dada por:

EC.T. = ½m.VC2

Donde: m: masa del cuerpo

VC: velocidad lineal del centro de masa del cuerpo

La energía cinética de rotación de los cuerpos rígidos está dada por:

EC.R. = ½ I.w2

Donde: I: momento de inercia de un cuerpo rígido con respecto a un eje rotación

w: velocidad angular con respecto al mismo eje

Momento de Inercia.- El momento de inercia “I” de un cuerpo respecto de un eje de rotación se define por:

I = ∫▒r2. dm

Donde: r: distancia de un diferencial de masa “dm” al eje de rotación

Se determina la posición de la volante por medio del centro de masa “G” de la volante.

Pasando la volante de la posición G0 a la posición G4 como muestra la figura:

Se tiene:

EP(0) + EC(0) = EP(4) + EC(4) + Wfricción

Si en G0 la rueda parte del reposo:

m.g.h0 = m.g.h4 + EC(4) + Wfricción

Las pérdidas por fricción, Wfricción, se debe a la fricción por deslizamiento (calor perdido por rozamiento) y a la fricción por rodadura (calor producido por la deformación de las superficies en contacto). Las pérdidas por rodadura son despreciables en el caso de cuerpos rígidos como este. Si se evita el deslizamiento (patinaje) podemos suponer que las pérdidas por fricción son nulas (insignificantes). Además al no haber deslizamiento significa que el punto de contacto “A” juega un papel de centro (instantáneo) de rotación, cumpliéndose entonces que VG = wA.r, donde VG es la velocidad de G (que es tangencial porque A es el centro de rotación), wA es la velocidad angular alrededor de “A” y “r” es la distancia de “G” a “A” (radio del eje de la volante).

El movimiento se puede visualizar como una serie de rotaciones sucesivas con velocidad angular wA alrededor del eje de giro móvil “A”.

Otra manera de visualizar es considerarlo como la composición de una traslación del centro de masa “G”, más una rotación simultánea, con velocidad angular wG alrededor de “G” donde se cumple que: wA = wG

Tomando el segundo punto de vista, la energía cinética consta de dos partes:

EC = EC(traslación) + EC(rotación)

EC = ½.m.VG2 + ½.IG.w2

Donde VG es la velocidad del centro de masa, IG es el momento de inercia respecto al eje de rotación que pasa por “G” (que en este caso es el de simetría).

Pero: VG = VA = w.r, entonces:

mgh0 = mgh4 + ½ m.VG42 + ½ IG.VG42/r2

De aquí se puede calcular IG si es que se conoce VG. Observando esta velocidad, notamos que parece ser la de un movimiento uniformemente acelerado. Suponiendo que es así:

X = ½ a.t2, v = a.t, es decir: v = 2x/t

PROCEDIMIENTO:

Se nivela el plano de manera que sirva de base.

Se marca los rieles con los puntos A0, A1, A2, A3, A4, separados 10cm entre sí.

Se mide con el pie de rey el diámetro del eje (de la rueda) que se apoya sobre los rieles.

Se fija la inclinación de los rieles de manera que la rueda avance por rodamiento puro (sin patinaje).

Se coloca la rueda en reposo en la posición A0, que choca con los rieles, a continuación se suelta y se empieza a medir el tiempo (es decir, t0 = 0); se mide en intervalos de tiempo t1, t2, t3, t4 correspondientes a los tramos A0A1, A0A2, A0A3, A0A4, respectivamente.

Se mide la masa de la rueda y la diferencia de alturas entre las posiciones de “G”.

Se modifica la inclinación de los rieles (teniendo cuidado de evitar el deslizamiento de la rueda), se calcula la nueva diferencia de alturas entre G0 y G4.

Con el pie de rey se mide los radios, espesores y longitudes de la rueda y su eje (como para hallar el volumen).

CUADRO DE DATOS:

Masa de la rueda de Maxwell = 0.4896Kg

Medidas de la rueda de Maxwell:

-Primera Porción (Disco externo):

Radio menor (r1): 4.88cm

Radio mayor (r2): 6.5cm

Espesor: 2.64cm

-Segunda Porción (Barritas de la rueda):

Largo: 3.5cm

Ancho: 1.09cm

Espesor: 0.73cm

-Tercera Porción (Cilindro hueco):

Radio menor (r3): 0.3175cm

Radio mayor (r4): 1.38cm

-Cuarta Porción (Varilla delgada en forma cilíndrica):

Radio: 0.3175cm

Primera inclinación:

h0 = 9.7175cm, h4 = 4.2175cm, ∆h = 5.5cm, donde “h” es la altura al centro de gravedad “G” en cada punto.

t1 = 6s, t2 = 9s, t3 = 11.3s, t4 = 13s, donde “t” es el tiempo promedio en cada tramo.

Tramos: A0A1 = 10cm, A0A2 = 20cm, A0A3 = 30cm, A0A4 = 40cm

Segunda inclinación:

h0 = 6.6175cm, h1 = 3.3175cm, ∆h = 3.3cm, donde “h” es la altura al centro de gravedad “G” en cada punto.

t4 = 18.55

CÁLCULOS Y RESULTADOS:

Considerando los tiempos promedios para t1, t2, t3 y t4; grafique los puntos (0,Go), (t1,G1),…, (t4,G4). ¿Es el movimiento de traslación uniformemente variado?

De los datos de la primera inclinación se puede hallar la gráfica de X vs t2:

Donde: “x” va a ser igual a la distancia de cada tramo que es igual a la distancia entre los centros de gravedad en cada punto.

Se logra ver que la gráfica es casi una recta con que se demuestra que el movimiento es aproximadamente el movimiento traslacional uniformemente acelerado.

Suponiendo que la aceleración de traslación es constante, calcular:

La aceleración del centro de masa “aG”.

Se sabe que la aceleración es la segunda derivada de la trayectoria, por ello al efectuar la derivada de la ecuación se puede hallar la aceleración del centro de masa “aG”:

aG = 0.0052m/s2

La velocidad de traslación, V4, del centro de masa en posición G4.

Se puede hallar la

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