Dinamica Rotacional

CAPITULO I

PROBLEMA

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Dar a conocer sobre todos los temas que abarca la dinámica rotacional tales como el momento de inercia, radio de giro, rotación de un cuerpo rígido, la segunda ley de Newton y algunos ejercicios que permitan entender cabalmente este tema.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Realizar una exposición que permita que todos nuestros compañeros puedan adquirir conocimientos de este tema

Realizar una pequeña introducción de este tema, para así dar a conocer lo demás seguidamente

Desarrollar ejercicios que aclaren lo expuesto en lo teórico.

JUSTIFICACION

Este trabajo tiene la finalidad de poder presentar una guía sobre la dinámica rotacional para que de esta manera todos los estudiantes puedan aprender sobre este tema y aplicar sus conocimientos en ejercicios prácticos que se encontraran en temas posteriores.

INTRODUCCION

En temas anteriores se expuso que los efectos que puede causar la aplicación de una fuerza sobre un cuerpo son: deformación y/o traslación y/o rotación.

La dinámica de la traslación se estudió en base a la aplicación de las Leyes de Newton, sin embargo con lo tratado anteriormente no se puede todavía analizar dinámicamente que sucede con la rotación.

De tal manera la rotación es un movimiento que obliga a todos los puntos de un sólido rígido a describir arcos de igual amplitud pertenecientes a circunferencias cuyos centros se hallan en una misma recta o eje de giro, que puede ocupar cualquier posición en el espacio.

Para estudiar la dinámica de los cuerpos en rotación se introduce el concepto de sólido rígido o cuerpos formados por un conjunto de puntos materiales cuyas distancias mutuas permanecen invariables. Un sólido rígido está animado de un movimiento de rotación cuando se mueve ligado a dos puntos fijos que pueden ser interiores o exteriores él. La línea que une dicho puntos fijos es el eje de giro, los puntos del sólido en su movimiento describen circunferencias en un plano perpendicular al eje de giro, y cuyos centros se encuentran sobre dicho eje.

CAPITULO II

MARCO TEORICO

MOMENTO DE INERCIA

Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje.

En la ecuación I=(mr^2) ∝, el producto mr^2 se denomina momento de inercia, o inercia rotacional de la partícula que gira alrededor del punto O. Se le representa por la letra I:

I=mr^2

El momento de inercia no depende únicamente de valor de la masa de la partícula, sino también en función de la geometría (r), es decir de la distribución (distancia) de la masa alrededor del eje. Es decir que para una partícula hay tantos momentos de inercia, como ejes respecto a los cuales se los calcula.

Si se tuviese un sistema de partículas, el momento de inercia respecto a un eje (o) es:

I=m1∙〖r1〗^2+m2⋅〖r2〗^2+ ...………………..+mn ∙ 〖rn〗^2= ∑_(i=0)^n▒〖mr^2 〗

Donde r es la distancia perpendicular de la partícula de masa m, hasta el eje O.

Unidades: el momento de inercia es una magnitud escalar, cuyas unidades son las de una masa multiplicada por una de longitud elevada al cuadrado

En el SI: mr^2=I

1[kg]∙ 1[m^2 ]=1[kg∙ m^2 ]

En el CGS: m∙ r^2=I

1[g]∙ 1[〖cm〗^2 ]=1[g∙〖cm〗^2 ]

Dimensiones:

I=m∙r^2

[I]= [M] ∙ [L^2 ]

[I]= [ML^2 ]

Ejercicio:

Calcular el momento de inercia del siguiente grafico si mA= 4kg , mB = 5kg , mc= 6kg

El eje perpendicular al plano de la hoja que pasa por el punto A

I=m∙r^2

I=IA+IB+IC

I=mA ∙ r^(2 )+mB ∙r^2+mC ∙ r^2

I=4 kg ∙0+5kg ∙ (5m)^2+6kg ∙(6m)^2

I=(125 m^2+216 m^2 )kg

I=341 kg m^2

El eje perpendicular al plano de la hoja que pasa por el punto B

I=m∙r^2

I=IA+IC

I=mA ∙ r^(2 )+mC ∙ r^2

I=4 kg ∙(5m)^2+6kg ∙(7.81m)^2

I=(100 m^2+365.98 m^2 )kg

I=465.97 kg m^2

El eje que pasa por el punto A y B

I=m∙r^2

I=IC

I=mC ∙ r^2

I=6kg ∙(6m)^2

I=216 kg m^2

El eje que pasa por el punto A y C

I=m∙r^2

I=IB

I=mB ∙ r^2

I=5kg ∙(5m)^2

I=125 kg m^2

El eje perpendicular que pasa por el punto B y C

∝ = 〖tan〗^(-1) 6/5

∝=50.19

sen B= a/5

sen 50.19= a/5

a=3.84

I=m∙r^2

I=IA

I=mA ∙ r^2

I=4kg ∙(3.84m)^2

I=58.98 kg m^2

RADIO DE GIRO

Se define el radio de giro como la distancia desde el eje de giro a un punto donde podríamos suponer concentrada toda la masa del cuerpo de modo que el momento de inercia respecto a dicho eje se obtenga como el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado del radio de giro.

En ingeniería estructural, el radio de giro describe la forma en la cual el área transversal o una distribución de masa se distribuye alrededor de su eje centroidal. Concretamente es el valor medio cuadrático de distancia de los puntos de la sección o la distribución de masa respecto a un eje que pasa por el centro de la misma.

Radio de giro de área

El radio de giro de un área con respecto a un eje particular es igual a la raíz cuadrada del cociente del segundo momento de área dividido por el área:

Donde ig es el radio de giro, Ieje es el segundo momento de área o momento de inercia de la sección y A es el área de la sección transversal. Es una medida del alejamiento promedio de la sección resistente del centro de gravedad, dadas dos secciones de la misma área la de mayor radio de giro presentará menor rigidez torsional y también un peor comportamiento frente a pandeo.

El radio de giro para diversas secciones transversales es:

sección cuadrada de lado :

sección circular de radio :

Radio de giro de masa

El radio de giro de una masa es similar excepto que se usara el momento de inercia de la masa. El valor numérico es dado por la siguiente fórmula:

...