Distribuciones de muestreo, estimación y pruebas de hipótesis

Taller 4 – Distribuciones de muestreo, estimación y pruebas de hipótesis

Universidad Metropolitana

Escuela de Estudios Profesionales

STAT 555 – Estadísticas para la toma de decisiones gerenciales

S0

 De de 2019

i. ¿Por qué la media aritmética de la muestra es un estimador no sesgado de la media aritmética de la población? Demuestre con un ejemplo.

- Un estimador no sesgado de la media aritmética puede estar dividido en positivo, si producen, en promedio, estimación por exceso, cero, cuando son estimadores centrados, negativo, si producen, en promedio, estimación por defecto.

Ejemplo: (Positivo) [pic 1]

ii. ¿Por qué el error estándar de la media disminuye a medida que el tamaño de la muestra aumenta? Demuestre con un ejemplo. [pic 2]

• Si la dispersión disminuye esta se hace más pequeña por lo cual los valores de la media se acercan más.  Mientras que, si la dispersión aumenta los valores de la media se agrupan menos cerca.  

iii. ¿Por qué la distribución de muestreo de la media se acerca a la distribución normal para una muestra lo suficientemente grande a pesar de que la población no esté normalmente distribuida?

• Se puede obtener una aproximación cercana de la distribución muestral de la media con una distribución normal.  Si para muestras aleatorias de poblaciones infinitas, encontramos que si X es la media de una muestra aleatoria de tamaño N de una población infinita con la media y la desviación estándar y N es grande, entonces, es un valor de una variable aleatoria que tiene aproximadamente la distribución normal estándar.

iv. Explique por qué un administrador o gerente estaría interesado en llegar a conclusiones sobre una población más que meramente describir resultados de una muestra.

• Con una cantidad representativa de la población se puede generalizar y tomar decisiones.

v. Describa la diferencia entre una distribución de probabilidad y una distribución de muestreo. Demuestre con un ejemplo. [pic 3]

a.  Distribución de probabilidad- función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho evento ocurra.

Ejemplo:

b. Distribución de muestreo- distribución muestral a considerar de todas las muestras posibles que pueden ser tomadas de una población.

Ejemplo: [pic 4]

vi. ¿Bajo qué circunstancias la distribución de muestreo de una proporción aproximadamente se acerca a la distribución normal?

•  En numerosas ocasiones se plantea estimar una proporción o porcentaje.  En estos casos la variable aleatoria toma solamente dos valores diferentes (éxito o fracaso), es decir sigue una distribución binomial y cuando la extensión de la población es grande la distribución binomial se aproxima a la normal.  Para muestras de tamaño n>30, la distribución muestral de proporciones sigue una distribución normal.

vii. ¿Por qué realmente no existe un 100% de confianza al estimar correctamente las características de una población bajo estudio?

• En esencia y en la práctica solamente se selecciona una muestra.  Nunca se sabe con seguridad si el intervalo específico obtenido incluye la media poblacional.  Pero se puede afirmar que se tiene una confianza de 95% de que se seleccionó una muestra cuyo intervalo incluye a la media de la población.  

viii. ¿Cuándo se utiliza la distribución t para desarrollar el estimador del intervalo de confianza alrededor de la media?

• Se utiliza cuando se desconoce la desviación estándar y existe una muestra menor de 30.  En apariencia, la distribución t es muy similar a la distribución normal.  Ambas tienen forma de campana y son simétricas.  La distribución t tiene un área mayor en las colas y menor en el centro que la normal.  Sus funciones se basan en establecer un intervalo de confianza, utilizando un nivel de confianza y los grados de libertad, obteniendo valores de una tabla dada con respecto a estas variables y aplicarla en la fórmula.  

ix. ¿Por qué resulta cierto que para una muestra de tamaño n, un aumento en la confianza se alcanza ampliando (haciendo menos preciso) el intervalo de confianza obtenido?

• Demuestre con un ejemplo. El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían al mismo tiempo, de forma que un intervalo más amplio tendrá más posibilidades de acierto (mayor nivel de confianza), mientras que, para un intervalo más pequeño, que ofrece una estimación más precisa, aumentan sus posibilidades de error.  

Por ejemplo: el tiempo de espera en una llamada a la compañía Claro.  Usualmente el tiempo de espera que frecen los centros de “call center” es de 8-11 minutos si la demanda es normal, esto quiere decir que podríamos reducir el intervalo a 9 y 10 minutos, esto aumenta la precisión, pero también aumenta el margen de error puesto ya que se eliminan el 8 y el 11 como alternativas.

x.  Explique bajo qué circunstancias se utilizaría un intervalo de confianza de una cola.  

- Se usan cuando interesa saber si la media del grupo 2 es superior o no a la del grupo 1 en comparación con éste.  Sólo cuando el planteamiento certero se elige una cola.  El término cola se refiere a los extremos de la distribución estadística como los de la campana de la curva normal. Una cola representa un efecto o asociación positivo (derecho), y la otra, un efecto negativo (izquierda).

xi. ¿Cuándo estimaría la población total en vez de la media de la población?

• Estimaría la población total cuando la población tiene un tamaño razonable.  Un ejemplo podría ser, una organización sin fines de lucro de 50 participantes que desea realizar una encuesta para conocer el nivel de satisfacción del programa y los servicios que ofrecen.

xii. Explique cómo difieren la estimación de diferencias de la estimación de la media. Demuestre con un ejemplo. 

• En la estimación de la media se utiliza el intervalo de confianza, para la media de una población, con un nivel de confianza de 1- α, siendo X la media de una muestra de tamaño n y σ la desviación típica de la población, es:

[pic 5]

xiii. Explique la diferencia entre la hipótesis nula H0 y la hipótesis alterna H1.

Hipótesis nula H0 es la hipótesis que se supone cierta de partida, y se conoce la alterna H1 a la que reemplazará a la hipótesis nula cuando ésta es rechazada. La hipótesis nula es aquella que nos dice que no existen diferencias significativas entre los grupos.

• Toda hipótesis que difiere de una dada se llamará una hipótesis alternativa. Al responder a un problema, es muy conveniente proponer otras hipótesis en que aparezcan variables independientes distintos de las primeras que formulamos.

xiv. Describa la diferencia entre error Tipo I y error Tipo II. Demuestre con un ejemplo.

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